Re: [其他] 箱中球悖論（上）

看板Math作者 (最是清楚哇她咩)時間8月前 (2025/03/22 22:32), 8月前編輯推噓3(3推 0噓 28→)
留言31則, 3人參與, 8月前最新討論串2/4 (看更多)
※ 引述《ginstein (邁向學術之路)》之銘言： : 箱中球問題（原型）： : 有一個空箱，甲乙兩人輪流向箱子放球、取球，每輪甲先放進兩顆球，接著乙取出一顆球 : 。第一輪耗時 1 分鐘，之後每輪用時減半，總耗時是無窮等比級數，經過無窮多輪，全 : 部過程在兩分鐘時停止，之後箱中球數不再變化。請問「最終箱子裡會有多少球」？ : : 不好意思隔了這麼久才回覆 A 大，反問 A 大，兩分鐘那一刻， : 理論上經過了所有自然數回合，結束後不再放球、取球，球數不再變化應該合理吧？ : : 推 arrenwu : 我覺得丙的想法最正常，但"無窮多"跟"數量不再改變" 03/15 08:51 : → arrenwu : 在我看起來是相互矛盾的敘述 03/15 08:51 : → arrenwu : 丁戊的推論是基於"數量不再改變"這個沒被證成的敘述 03/15 08:52 : : 可能 A 大是潛無窮主義者，認為無窮增加、變化，永無止盡才是無窮。 : 敢問 A 大認可存在所有自然數集合嗎？如果自然數是無窮無盡的... 讓我們量化地描述這個過程 1. 定義 X(t) = t分鐘時箱子裡面球的個數 for t in [0,2). 2. 每一輪的最後一瞬間，甲乙會完成他們該輪的行動。 由上面兩條可得到 X(2-1/(2^(k-1))) = k for k in {1,2,3,4,5,6,........} 那我們就可以很明確地得到 lim X(t) = ∞ (這是個函數的極限，所以無窮大在這裏有明確意涵) t->2 現在我的問題是：所以你要怎麼定義 X(t) for t in [2,∞) ？ 這會直接關係到你題目中的"兩分鐘時停止，之後箱中球數不再變化"是什麼意思 -- 與角卷綿芽去KTV唱歌 https://i.imgur.com/VFmibkg.jpg
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原圖出處：https://twitter.com/Iwahadada/status/1384422041240039428 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 98.45.195.96 (美國) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1742653947.A.CC2.html
推
03/23 01:02, 8月前 , 1F
題意[2,inf)是常數函數，題意合理否另說。值該多少
03/23 01:02, 1F
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03/23 01:02, 8月前 , 2F
目前無定論該多少，合理值非負整數和+inf。
03/23 01:02, 2F
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03/23 01:05, 8月前 , 3F
認同想法一是inf，想法二三是0。
03/23 01:05, 3F
我這樣問好了： 你有沒有覺得，For all t1<t2 in [0,inf), X(t1) < X(t2) +1 ？ 如果你對於這性質沒有意見，哪打算怎麼定義 X(t) for t in [2,∞) ？
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03/23 07:48, 8月前 , 4F
雖然我沒看懂你對無窮的想法，但這篇應該不是寫給你
03/23 07:48, 4F
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03/23 07:49, 8月前 , 5F
看的，畢竟你已知知道處理極限會發生的問題了？
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03/23 13:55, 8月前 , 6F
所有操作都是在兩分鐘"之前"發生的事情啊，寫成這樣
03/23 13:55, 6F
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03/23 13:55, 8月前 , 7F
當然是物理上不可能的
03/23 13:55, 7F
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03/23 13:56, 8月前 , 8F
所以問題就在什麼叫做「最終箱子裡會有多少球」？
03/23 13:56, 8F
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03/23 13:58, 8月前 , 9F
既然你都要取極限了，它也可以寫成每一輪一分鐘，一
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03/23 13:58, 8月前 , 10F
樣可以描述一個要被取極限的東西，然後問你該怎麼取
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03/23 13:59, 8月前 , 11F
然後就必須問「在無窮多分鐘之後...」這種更奇怪的
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03/23 13:59, 8月前 , 12F
句子。
03/23 13:59, 12F
推
03/23 17:16, 8月前 , 13F
令t_k=2-1/(2^(k-1)),X(t_r)<X(t_s)+1 if r<s? __
03/23 17:16, 13F
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03/23 17:18, 8月前 , 14F
沒看懂意思，猜一下。[0,2)是階梯遞增,[2,∞)是常數
03/23 17:18, 14F
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03/23 17:19, 8月前 , 15F
不到兩分鐘時的性質，不一定要延伸到兩分鐘後呀
03/23 17:19, 15F
上面那個不等式的意思是在描述 X(t) 隨著時間會大體上越來越多， 而在 t<2 的時候就可以變得「想要有多大就有多大」 妳要怎麼定義從 t=2以後的 X(t) ？
推
03/23 20:09, 8月前 , 16F
我認為你對極限的概念有誤會
03/23 20:09, 16F
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03/23 20:10, 8月前 , 17F
極限是事先設好的定值，不是越過無窮的結論
03/23 20:10, 17F
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03/23 20:12, 8月前 , 18F
所以不會有「一直變大」的極限
03/23 20:12, 18F
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03/23 20:14, 8月前 , 19F
一般來說，lim a_n = ∞ 的意思是
03/23 20:14, 19F
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03/23 20:15, 8月前 , 20F
極限不存在，a_n 沒有任何實數上界
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03/23 20:15, 8月前 , 21F
所以實際上你還需要解釋什麼是「無限多顆球」
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03/23 20:17, 8月前 , 22F
物理沒有無限多顆球的概念 基本要採用數學定義
03/23 20:17, 22F
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03/23 20:19, 8月前 , 23F
數學上能好好討論無限的地方是集合論
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03/23 20:41, 8月前 , 24F
如果是集合論 第一篇的 h 大講得很清楚了
03/23 20:41, 24F
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03/23 23:06, 8月前 , 25F
t=2以後的 X(t):丙, inf. 丁戊己, 0. 庚, 看條件
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03/23 23:14, 8月前 , 26F
覺得還是沒了解你的核心問題。換句話說，原問題問
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03/23 23:14, 8月前 , 27F
的是，用你 x(t) 來描述，就是這個值多少才合理。
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03/23 23:16, 8月前 , 28F
之後沒有放球取球動作，常值函數算合理假設吧
03/23 23:16, 28F
現在就是在問這個問題啊： 你原題目問 X(t) 在 t>=2 之後是多少或是否無窮多， 那你總要給我們 X(t) 在 t>=2 之後的定義吧？
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03/24 22:14, 8月前 , 29F
想成t=2發生量子躍遷,之後值不變,問球數多少才合理
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03/24 22:15, 8月前 , 30F
想不到方法繼續說明了,感慨自己老了,有代溝XD
03/24 22:15, 30F
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03/24 22:22, 8月前 , 31F
或者,A大純粹想說明這是ill-formed問題?
03/24 22:22, 31F
我會說這個問題看到現在我覺得並沒有 well-defined (不大確定你所謂的 ill-formed 是什麼意思) 如果你想說 X(t) 在 t=2 可以完全不管之前發生什麼事情，也行。 那就是什麼值都可以。只是這問題就變成一個trivial question ※ 編輯: arrenwu (98.45.195.96 美國), 03/24/2025 22:41:53
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