Re: [代數] 級數的不等式證明
※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: 想問一道不等式證明：
: 設a_1 ≦ a_2 ≦ ... ≦ a_n，a_i不限正負。
: 定義A_k =Σ_(i=1 to k) a_i
: A'_k = Σ_(i=1 to k) a_σ(i)
: σ(i)是i的置換permutation
: 證明對所有的k=1~n，A_k≦A'_k都成立。
: 請問強者應該要怎麼證明這個A_k的性質？
: 感謝回答～
令
S_k={a_i, i=1~k}
S'_k={a_σ(i), i=1~k}
P_k= S_k \ S'_k
Q_k= S'_k \ S_k
則
sum(S_k) - sum(S'_k) = sum(P_k) - sum(Q_k)
n(P_k) = n(Q_k) = k - n(S_k∩S'_k)
對所有 x 屬於 P_k 且 y屬於Q_k , x≦y
因此 sum(P_k) ≦ n(P_k)*max(P_k) ≦ n(Q_k)*min(Q_k) ≦ sum(Q_k)
=> sum(S_k) ≦ sum(S'_k)
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以c(A)表示A的補集 ( 宇集是 {a_1, ..., a_n} )
P_k = S_k ∩ c(S'_k) => P_k 包含於S_k
Q_k = S'_k ∩ c(S_k) => Q_k 包含於c(S_k)
S_k 其實就是 {a_1,...,a_k}, 而c(S_k)就是 { a_(k+1), ... ,a_n }
因此對所有k, max(S_k) ≦ min(c(S_k))
因此 max(P_k) ≦ max(S_k) ≦ min(c(S_k)) ≦ min(Q_k)
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換一個方式想
給定任意 k 和 σ
若 a_σ(1) ~ a_σ(k) 中有m個數大於 a_k (0<=m<=k)
就表示 a_σ(k+1) ~ a_σ(n) 中有m個數小於等於 a_k
現在進行以下操作:
把 前面m個大於a_k的數 跟 後面m個小於a_k的數一對一對調
對調之後 a_σ(1) ~ a_σ(k) 的和一定是變小
(當m=0時不做任何事,所以不變)
也就是對調後前k項的和 A''_k <= A'_k
而對調後 a_σ(1) ~ a_σ(k) 全部都小於等於 a_k
因此對調後的前k項就是 a_1 ~ a_k 的permutation
因此 A''_k = A_k
就得到 A_k <= A'_k
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※ 編輯: mantour (220.137.14.92 臺灣), 09/17/2024 20:10:09
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