[代數] 級數的不等式證明

看板Math作者時間1年前 (2024/09/15 23:34), 編輯推噓0(0推 0噓 36→)
留言36則, 3人參與, 1年前最新討論串1/3 (看更多)
想問一道不等式證明： 設a_1 ≦ a_2 ≦ ... ≦ a_n，a_i不限正負。 定義A_k =Σ_(i=1 to k) a_i A'_k = Σ_(i=1 to k) a_σ(i) σ(i)是i的置換permutation 證明對所有的k=1~n，A_k≦A'_k都成立。 請問強者應該要怎麼證明這個A_k的性質？ 感謝回答～ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.25.38.239 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1726414458.A.5B9.html
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09/16 00:32, 1年前 , 1F
最小的前k項和<=任意k項的和
09/16 00:32, 1F
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09/16 00:39, 1年前 , 2F
證明就重排後的前k項如果不是a_1~a_k的重排，那不
09/16 00:39, 2F
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09/16 00:39, 1年前 , 3F
在a_1~a_k的項都比a_1~a_k大
09/16 00:39, 3F
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09/16 09:45, 1年前 , 4F
這個問題以前也想過，可是當k越大，正序加的越大，
09/16 09:45, 4F
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09/16 09:46, 1年前 , 5F
亂序加的越少，難道沒有可能正序彎道超車，最後兩種
09/16 09:46, 5F
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09/16 09:47, 1年前 , 6F
和達到相同的值嗎？想請問m大要怎麼排除?
09/16 09:47, 6F
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09/16 11:09, 1年前 , 7F
1-100 任取n項比總和大小，我取1~n，你要怎麼取才
09/16 11:09, 7F
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09/16 11:09, 1年前 , 8F
會比我小？
09/16 11:09, 8F
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09/16 11:12, 1年前 , 9F
亂序越加越小，也頂多跟1~N項的和相等（當亂序的前
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09/16 11:12, 1年前 , 10F
N項剛好是1~N項的重排時）
09/16 11:12, 10F
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09/16 13:49, 1年前 , 11F
謝謝m大，我再想想看。我可能把增量幅度搞混進去了
09/16 13:49, 11F
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09/16 21:55, 1年前 , 12F
感謝M大的解答
09/16 21:55, 12F
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09/17 22:11, 1年前 , 13F
剛想到照music大的思路也可以的解釋了
09/17 22:11, 13F
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09/17 22:18, 1年前 , 14F
因為a_1~a_n的總和是固定的，所以後面還沒加的項越
09/17 22:18, 14F
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09/17 22:18, 1年前 , 15F
小，反而表示前面的總和越大
09/17 22:18, 15F
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09/18 08:48, 1年前 , 16F
m大可以再解釋一下嗎？
09/18 08:48, 16F
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09/19 00:32, 1年前 , 17F
呃 可能你再描述一下問題 才知道怎麼解釋
09/19 00:32, 17F
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09/19 08:26, 1年前 , 18F
如果100個數，本來最後三個數是98,99,100重新排列
09/19 08:26, 18F
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09/19 08:26, 1年前 , 19F
後最後三項變成3,2,1，A_97 - A'_97=?, A_98-A'_98
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09/19 08:26, 1年前 , 20F
=?, A_99-A'_99=?, A_100-A'_100=?
09/19 08:26, 20F
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09/19 19:45, 1年前 , 21F
我的疑問是重排的A_k'有無可能在某k被A_k超越，然後
09/19 19:45, 21F
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09/19 19:45, 1年前 , 22F
A_k'再重新超越A_k，或者之後都沒超越A_k，只在最後
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09/19 19:45, 1年前 , 23F
兩個都相等
09/19 19:45, 23F
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09/19 19:50, 1年前 , 24F
在想有沒有反證法否決掉這個可能
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09/19 20:28, 1年前 , 25F
可以追平，無法超前
09/19 20:28, 25F
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09/19 20:36, 1年前 , 26F
如果這樣呢？
09/19 20:36, 26F
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09/19 20:37, 1年前 , 27F
假設a'1+...+a'k>a1+...+ak
09/19 20:37, 27F
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09/19 20:37, 1年前 , 28F
把a'1~a'k也由小排到大
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09/19 20:43, 1年前 , 29F
更正，不用排序
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09/19 20:44, 1年前 , 30F
上面寫錯重來
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09/19 20:52, 1年前 , 31F
如果a'1+...+a'k<a1+...+ak
09/19 20:52, 31F
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09/19 20:55, 1年前 , 32F
那把a‘1~a‘k重新排序就可以得到一個原數列的k項
09/19 20:55, 32F
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09/19 20:55, 1年前 , 33F
遞增子數列，比a1~ak小
09/19 20:55, 33F
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09/19 20:57, 1年前 , 34F
這樣應該可以導出與a1~ak是最小的前n項矛盾
09/19 20:57, 34F
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09/21 18:43, 1年前 , 35F
謝謝m大，我覺得我想要反證的結果，反而最後還是回
09/21 18:43, 35F
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09/21 18:43, 1年前 , 36F
到正面證法
09/21 18:43, 36F
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