[代數] 不等式證明

看板Math作者時間1年前 (2024/09/13 12:57), 1年前編輯推噓9(9推 0噓 17→)
留言26則, 8人參與, 1年前最新討論串1/6 (看更多)
各位先進好， 我想請問一道以前沒有看過的不等式證明。 題目是這樣：對於x_i均非負數，i=1~n 試證：(x_1+x_2+...+x_n)/n ≧ √((x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1)/n) 當n=3時我可以乘開，但是這樣的證明方式有其侷限性。 到n≧4的時候我平方後會開始多出許多不是不等式右方的項，接著就處理不下去了。 懇請板上強者幫忙提供一下這個不等式的證明。 感謝回答～ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.25.33.91 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1726203431.A.757.html
推
09/13 15:57, 1年前 , 1F
這是算幾不等式的n個變數版本嗎？
09/13 15:57, 1F
→
09/13 16:15, 1年前 , 2F
右邊實際上是什麼？ 太多的話明顯錯誤吧
09/13 16:15, 2F
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09/13 16:19, 1年前 , 3F
至少如果是C(n,2)這種方式的話，右邊項數會超過左邊
09/13 16:19, 3F
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09/13 16:19, 1年前 , 4F
那就單純全部取1就出錯了
09/13 16:19, 4F
推
09/13 16:26, 1年前 , 5F
n=4 可以融合成 (x_1-x_2+x_3-x_4)^2>=0
09/13 16:26, 5F
是的，n=4展開是(x_1-x_2+x_3-x_4)^2>=0， 但是我做到這裏就沒辦法繼續往n>=5前進了...... 因為光是當n奇數時(x_1-x_2+x_3-x_4+x_5)^2就造不出最後一項x_5x_1了
推
09/13 16:33, 1年前 , 6F
平方相減>=0(或含排序不等式)
09/13 16:33, 6F
可以請S大幫忙解釋一下如何推廣到n>4的狀況嗎？謝謝！
推
09/13 16:42, 1年前 , 7F
右邊只有n項 n=4是x1x2+x2x3+x3x4+x4x1
09/13 16:42, 7F
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09/13 16:48, 1年前 , 8F
喔喔，沒想到環形
09/13 16:48, 8F
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09/13 18:30, 1年前 , 9F
這題滿有趣的 可以用幾何作
09/13 18:30, 9F
可以請W大講解一下怎麼用幾何做嗎？謝謝！ ※ 編輯: Lanjaja (192.192.13.101 臺灣), 09/13/2024 18:45:05
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09/13 18:59, 1年前 , 10F
是的，右式不是所有交叉項的總和，只是相鄰項乘積和
09/13 18:59, 10F
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09/13 18:59, 1年前 , 11F
頭尾乘積，抱歉沒有寫明
09/13 18:59, 11F
推
09/13 19:15, 1年前 , 12F
提供一個思路 但我還沒細推 你就把他想成是在直線
09/13 19:15, 12F
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09/13 19:16, 1年前 , 13F
上的連續長度片段x1, x2, x3... 那任意相鄰兩個線段
09/13 19:16, 13F
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09/13 19:17, 1年前 , 14F
為直徑的半圓上 相接點頂到半圓上的高就是相乘開根
09/13 19:17, 14F
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09/13 19:18, 1年前 , 15F
那這題幾何上直觀的意思就是 這些高平均的最大值發
09/13 19:18, 15F
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09/13 19:19, 1年前 , 16F
生在每個線段等長的時候 以這個思路就不難看出來數
09/13 19:19, 16F
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09/13 19:19, 1年前 , 17F
學歸納法不好拆 但直覺上是對的
09/13 19:19, 17F
推
09/13 19:41, 1年前 , 18F
可能想辦法證明任意數列相鄰兩數 在相等時會有最大
09/13 19:41, 18F
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09/13 19:42, 1年前 , 19F
值 比較是可能的突破口 比如說不管x1,x4值大小
09/13 19:42, 19F
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09/13 19:44, 1年前 , 20F
固定所有其他值與x2+x3的值(左側固定) 證明x2=x3時
09/13 19:44, 20F
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09/13 19:44, 1年前 , 21F
右側會有最大值這樣
09/13 19:44, 21F
推
09/13 22:24, 1年前 , 22F
題目有錯嗎？n=5 (1,1,1,2,2)矛盾 ，若後面是逆序
09/13 22:24, 22F
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09/13 22:24, 1年前 , 23F
和，即為切比雪夫不等式？
09/13 22:24, 23F
推
09/14 08:44, 1年前 , 24F
上面有說了, 右邊是相鄰兩項積和 (最後一項是頭尾積
09/14 08:44, 24F
推
09/14 09:06, 1年前 , 25F
左=(1+1+1+2+2)/5=1.4 右=√((1+1+2+4+2)/5)=√2=
09/14 09:06, 25F
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09/14 09:06, 1年前 , 26F
1.414... 右>左
09/14 09:06, 26F
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