Re: [代數] 不等式證明
※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: 各位先進好，
: 我想請問一道以前沒有看過的不等式證明。
: 題目是這樣：對於x_i均非負數，i=1~n
: 試證：(x_1+x_2+...+x_n)/n ≧ √((x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1)/n)
: 當n=3時我可以乘開，但是這樣的證明方式有其侷限性。
: 到n≧4的時候我平方後會開始多出許多不是不等式右方的項，接著就處理不下去了。
: 懇請板上強者幫忙提供一下這個不等式的證明。
: 感謝回答～
剛剛仔細看了一下還真的跟 n 有關
我們想要知道 LHS = (x_1+x_2+...+x_n)^2
是否大於 RHS = n(x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1)
一個簡單的數字代入是 令 y = x_1 = ... = x_k , 其餘為 1
那麼 LHS = [ky+(n-k)]^2 , RHS = n(k-1)y^2+2ny+n(n-k-1)
LHS - RHS 可整理得到 (k^2-nk+n)(y-1)^2
令 f(n,k) = k^2-nk+n = (k-n/2)^2 + (4-n)n/4
所以當 n>4 的時候 我們總是可以取 k = [n/2] 使 f(n,k) < 0
也就是 LHS - RHS < 0 對於所有 y
但你也可以取 k=1 讓 LHS - RHS = (y-1)^2 ≧ 0 對於所有 y
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.136.83.106 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1726232988.A.2F0.html
※ 編輯: WINDHEAD (220.136.83.106 臺灣), 09/13/2024 23:49:42
推
09/14 00:38,
1年前
, 1F
09/14 00:38, 1F
→
09/14 00:38,
1年前
, 2F
09/14 00:38, 2F
→
09/14 09:42,
1年前
, 3F
09/14 09:42, 3F
→
09/14 09:42,
1年前
, 4F
09/14 09:42, 4F
→
09/14 11:19,
1年前
, 5F
09/14 11:19, 5F
(1,1,1,2,2) 時(x_1+x_2+...+x_n)/n = 7/5
但是√((x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1)/n) = √2
右邊反而比較大
※ 編輯: WINDHEAD (220.136.83.106 臺灣), 09/14/2024 11:29:45
推
09/14 12:12,
1年前
, 6F
09/14 12:12, 6F
→
09/14 12:12,
1年前
, 7F
09/14 12:12, 7F
※ 編輯: WINDHEAD (220.136.83.106 臺灣), 09/14/2024 12:29:25
討論串 (同標題文章)