Re: [機統] 一題機率論(almost surely convergence

看板Math作者arrenwu (最是清楚哇她咩)時間1年前發表 (2023/10/22 12:58), 1年前編輯推噓6(6推 0噓 16→)

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※ 引述《yuyuyuai (>0<)》之銘言： : https://i.imgur.com/Mzx3qyQ.jpg

: 想了一整天想不太出來 : 感覺是用定義就能寫出來的題目 : 但不太理解隨機變數下標是一個隨機變數要怎麼用條件 : 長得很像subsequence的樣子，感覺可以用柯西數列來證明？ : 不知道有沒有大大能給個提示 : 非常感謝我也滿久沒有寫這類型習題了大家討論看看 :) 這裡主要用到的性質是「如果條件A可以得到條件B，則 P(A) <= P(B)」 (a) M_n → ∞ Λ X_n → 0 可以推得 X_{Mn} → 0 所以 P(M_n → ∞ Λ X_n → 0) <= P(X_{Mn} → 0) 而這個題目裡面兩個 almost sure 性質則保證了 P(M_n → ∞) = 1 且 P(X_n → 0) = 1 ，故 P(M_n → ∞ Λ X_n → 0) = 1 所以我們可以得到 P(X_{Mn} → 0) = 1，也就是 X_{Mn} → 0 almost surely. (b) 這問題的目標是證明: 選定任何ε>0，我們都有 lim P(|X_{Mn}| > ε) = 0 所以我們就先選一個 ε>0 ....(1) P(|X_{Mn}| > ε) = P(|X_{Mn}| > ε Λ X_n → 0) (X_n -> 0 almost sure) ...(2) 從 X_n → 0 這個條件，我們可以選一個正整數 Nε 使得 |X_n| < ε for all n >= Nε ................(3) (2)+(3): |X_{Mn}| > ε Λ X_n → 0 可推得 |X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε 所以 P(|X_{Mn}| > ε Λ X_n → 0) <= P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε) ...... (4) 接著我們引入一個條件 Mn >= Nε 從(4)式可進而得到 P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε) = P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε Λ Mn >= Nε) + P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε Λ Mn < Nε) ...(5) 現在我們來看 (5) 裡面兩個機率事件 |X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε Λ Mn >= Nε 這個事件不可能發生，所以機率為零；另一方面 P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε Λ Mn < Nε) <= P(Mn < Nε) 所以 (5) 可以整理成 P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε) <= P(Mn < Nε) ...(6) 將上面的式子全部組合起來： (2) P(|X_{Mn}| > ε) = P(|X_{Mn}| > ε Λ X_n → 0) (4) <= P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε) (6) <= P(Mn < Nε) ...(7) 對(7) 兩邊取 n→∞ lim P(|X_{Mn}| > ε) <= lim P(Mn < Nε) = 0 (Mn->∞ in probability) Q.E.D. -- 角卷綿芽成吉思團套組 https://i.imgur.com/EYBPGoS.png

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推

yuyuyuai

10/23 00:51, 1年前 , 1^F

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yuyuyuai

10/23 00:51, 1年前 , 2^F

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jack7775kimo

10/23 09:07, 1年前 , 3^F

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