Re: [機統] 一題機率論(almost surely convergence
承前, 只討論(b)
結論: 需要對X_n的定義域加上"測度有限"的限制才會是對的
測度有限這個條件使我們可以套用Egorov's theorem:
犧牲一塊小測度讓X_n的收斂變成uniform,
再套用類似arrenwu的作法(一直把定義域作適當的分割)
至於定義域測度無窮的反例:(本質上就是conv. a.s.不imply conv. in prob.那個反例)
X_k, M_n: |R -> |R with Lebesgue measure
X_k(x) = 1, if |x| > k;
0, otherwise
M_n(x) = n, if |x| > n^-1;
0, otherwise
則 (1) X_n -> 0 a.s.
(2) M_n -> oo in probability. (Since for any K, P(M_n < K) = n^-1 if n > K)
(3) X_{M_n(x)}(x) = X_n(x), if |x| > n^-1;
0, otherwise
Hence, X_{M_n(x)}(x) = 1, if |x| > n;
0, otherwise
Therefore, P(|X_{M_n}| >= 1) = P(x:|x| > n) = oo for all n;
That is, X_{M_n} does not converge to 0 in probability.
: : 想了一整天想不太出來
: : 感覺是用定義就能寫出來的題目
: : 但不太理解隨機變數下標是一個隨機變數要怎麼用條件
: : 長得很像subsequence的樣子,感覺可以用柯西數列來證明?
: : 不知道有沒有大大能給個提示
: : 非常感謝
: 我也滿久沒有寫這類型習題了 大家討論看看 :)
: 這裡主要用到的性質是「如果條件A可以得到條件B,則 P(A) <= P(B)」
: (a)
: M_n → ∞ Λ X_n → 0 可以推得 X_{Mn} → 0
: 所以 P(M_n → ∞ Λ X_n → 0) <= P(X_{Mn} → 0)
: 而這個題目裡面兩個 almost sure 性質則保證了
: P(M_n → ∞) = 1 且 P(X_n → 0) = 1 ,
: 故 P(M_n → ∞ Λ X_n → 0) = 1
: 所以我們可以得到 P(X_{Mn} → 0) = 1,也就是 X_{Mn} → 0 almost surely.
: (b)
: 這問題的目標是證明: 選定任何ε>0,我們都有 lim P(|X_{Mn}| > ε) = 0
: 所以我們就先選一個 ε>0 ....(1)
: P(|X_{Mn}| > ε) = P(|X_{Mn}| > ε Λ X_n → 0) (X_n -> 0 almost sure) ...(2)
: 從 X_n → 0 這個條件,我們可以選一個正整數 Nε 使得
: |X_n| < ε for all n >= Nε ................(3)
: (2)+(3):
: |X_{Mn}| > ε Λ X_n → 0 可推得 |X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε
: 所以 P(|X_{Mn}| > ε Λ X_n → 0)
: <= P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε) ...... (4)
: 接著我們引入一個條件 Mn >= Nε
: 從(4)式可進而得到
: P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε)
: = P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε Λ Mn >= Nε)
: + P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε Λ Mn < Nε) ...(5)
: 現在我們來看 (5) 裡面兩個機率事件
: |X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε Λ Mn >= Nε 這個事件不可能發生,
: 所以機率為零;
: 另一方面 P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε Λ Mn < Nε)
: <= P(Mn < Nε)
: 所以 (5) 可以整理成
: P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε) <= P(Mn < Nε) ...(6)
: 將上面的式子全部組合起來:
: (2)
: P(|X_{Mn}| > ε) = P(|X_{Mn}| > ε Λ X_n → 0)
: (4)
: <= P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε)
: (6)
: <= P(Mn < Nε) ...(7)
: 對(7) 兩邊取 n→∞
: lim P(|X_{Mn}| > ε) <= lim P(Mn < Nε) = 0 (Mn->∞ in probability) Q.E.D.
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推
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