[線代] 請問這個證明的直證法

看板Math作者znmkhxrw (QQ)時間10月前 (2023/06/16 01:16)推噓1(1推 0噓 8→)

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想請問這個性質有沒有直接的證法, 我證的有點迂迴... ---------------------------------------------------- 令A€M_mxn(F), F = R or C, b€range of A 則 Ax = b <=> A^*A x = A^*b, 其中A^*是A的transpose conjugate ---------------------------------------------------- 直證"=>"很容易, 但是另外一個方向我毫無頭緒, 因為A^*無法消掉而迂迴的證法如下: 令S_1 := {Ax=b} S_2 := {A^*A x = A^*b} 則原命題等價於證明 S_1=S_2 pf: (1) S_1≦S_2 很明顯(≦是被包含) (2) 因為b€R(A), 所以S_1非空, 寫成齊次解加上特解x_1, 即S_1 = N(A) + x_1 因S_1≦S_2所以S_2非空, 寫成齊次解加上特解x_2, 即S_2 = N(A^*A) + x_2 然後因為N(A)=N(A^*A), 令為W 因此S_1 = W + x_1, S_2 = W + x_2 再來由S_1≦S_2, 我們會得到 W + x_1 ≦ W + x_2 接著很容易得到: (a) x_1-x_2€W (b) W + x_1 = W + x_2 因此S_1=S_2, 證畢 ------------------------------------------------------ 也就是說, 如果b不屬於R(A), 那S_1是空集合, S_2有可能非空, S_2比較大 (例如A=((0,1),(0,0), b=(1,1)) 但是如果b€R(A), 會發現S_1就是S_2, 也就是說, 當S_1非空, S_2就不會比較大不過直接從 A^*Ax = A^*b我真的很難推出Ax=b... 謝謝幫忙~ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1686849401.A.7FC.html

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cuylerLin

06/16 02:39, 10月前 , 1^F

06/16 02:39, 1^F

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yhliu

06/16 07:58, 10月前 , 2^F

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yhliu

06/16 08:00, 10月前 , 3^F

06/16 08:00, 3^F