[中學] 請問一個化簡為常數函數
如題, 我觀察到對任何正整數p, 任何正整數N>=(p+1), 都會有:
N-1 nπ
Σ (cos(x-──))^(2p) = constant, denpending on p and N
n=0 N
如圖 https://www.desmos.com/calculator/var1czvemp
我想知道這個常數是什麼
自己化簡時如果把cos(x-(nπ)/N)拆成cos*cos+sin*sin, 之後光是2p次方就很頭痛
而如果把(cos(x-(nπ)/N))^(2p)寫成(1-(sin(x-(nπ)/N))^2)^p, 好像也沒啥幫助
而如果用e^ix取等比級數再取實部這招, 只能適用於p=0.5
我猜motivation應就是從p=1中, sin^2+cos^2=1 而來的
完全不知道怎麼化簡...
謝謝幫忙~
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這個問題的一般式就是 Σ_{n=0~N-1} (cos(a+nd))^q, d!=0, q正整數, a,d任意實數
我嘗試用cos^q(x) = ((1/2)*(e^(ix)+e^(-ix)))^q 然後做二項式定理
然後再用級數交換與等比級數, 最後導到:
https://www.desmos.com/calculator/horz48lm0b
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嗨L大, 我之後也是用猜的哈哈, 我上面的連結中q偶數的話, m=q/2會有這一項跑出來
https://i.imgur.com/aJje1ZQ.jpg
而當時我就是不會化簡前面, 果斷猜測他會自己左右消掉, 果然模擬起來這個常數
就是 N*C(q,q/2)*(1/2^q)
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我沒找到左右相消的契機...好難算QQ
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這很酷欸!! 單純要找值的話
我一開始是想說我只要找x=0就可以知道常數, 可是x=0跟general x卡的點根本一樣XD
因為難處就是那個次方QQ
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要證明微分等於0就遇到更恐怖的次方相加, 我也沒試這條路了XD
還是硬著頭皮化簡感覺比較有機會
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謝謝大家討論, 我目前更general的模擬結果是:
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令 S_c = Σ_{n=0~N-1} (cos(a+nd))^q
S_s = Σ_{n=0~N-1} (sin(a+nd))^q
則 對於任何實數a, 偶數q, 正整數N, d = kπ/N, 且k是不被N/2整除的整數
我們都有 S_c = S_s = (N/2^q)*C(q, q/2)
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也就是說只有特殊的d跟q才可以讓 m<q/2 跟 m>q/2 那兩坨相消
而這個結果應該可以仿造下篇H大的方式證出來, 只是要多處理k
(原本問題相當於k=1, 總不被N/2整除)
等哪天閒閒的再去搞那坨分式吧XDDD
不過這結果好像也有點合理, 因為k=1的話剛好讓(cos(x))^2p剛好加滿一個週期π
其他的d值感覺就有但書了, 會多其他項不意外(?
謝謝大家~
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 04/30/2023 13:45:41
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