Re: [中學] 請問一個化簡為常數函數

看板Math作者Honor1984 (奈何上天造化弄人？)時間1年前 (2023/04/29 23:43)推噓3(3推 0噓 4→)

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※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言： : 如題, 我觀察到對任何正整數p, 任何正整數N>=(p+1), 都會有: : N-1 nπ : Σ (cos(x-──))^(2p) = constant, denpending on p and N : n=0 N : 如圖 https://www.desmos.com/calculator/var1czvemp : 我想知道這個常數是什麼 : 自己化簡時如果把cos(x-(nπ)/N)拆成cos*cos+sin*sin, 之後光是2p次方就很頭痛 : 而如果把(cos(x-(nπ)/N))^(2p)寫成(1-(sin(x-(nπ)/N))^2)^p, 好像也沒啥幫助 : 而如果用e^ix取等比級數再取實部這招, 只能適用於p=0.5 : 我猜motivation應就是從p=1中, sin^2+cos^2=1 而來的 : 完全不知道怎麼化簡... : 謝謝幫忙~ : ------------------------- : 這個問題的一般式就是 Σ_{n=0~N-1} (cos(a+nd))^q, d!=0, q正整數, a,d任意實數 : 我嘗試用cos^q(x) = ((1/2)*(e^(ix)+e^(-ix)))^q 然後做二項式定理 : 然後再用級數交換與等比級數, 最後導到: : https://www.desmos.com/calculator/horz48lm0b 這直接就可以做出來了令a = exp(-iπ/N) N-1 nπ Σ (cos(x-──))^(2p) n=0 N N-1 = Σ [(1/2)(exp(ix)(a^n) + exp(-ix)(a^(-n)))]^(2p) n=0 N-1 2p = Σ (1/2)^(2p) Σ C(2p, k) exp(ix2(k-p)) a^(2(k-p)n) n=0 k=0 2p N-1 = Σ (1/2)^(2p) C(2p, k) exp(ix2(k-p)) Σ a^(2(k-p)n) k=0 n=0 = N (1/2)^(2p) C(2p, p) = N (2p-1)!! / (2p)!! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.227.99.128 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1682782990.A.6AA.html

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LimSinE

04/29 23:55, 1年前 , 1^F

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Vulpix

04/30 00:12, 1年前 , 2^F

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Vulpix

04/30 00:13, 1年前 , 3^F

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