Re: [中學] 一題不等式
※ 引述《SC333 (SC)》之銘言：
: 對所有實數 a
: x^3 + 2kx^2 + 3x + (5 － a) = 0
: 皆恰有一實根
: 求 k 的範圍
: PS 直接微分可以求 但用高一不等式的方法 如何下手呢?
所求等價於
f(x) = x^3 + 2kx^2 + 3x為遞增函數
從微積分的角度也就是
f'(x) = 3x^2 + 4kx + 3無負實數解
(4k)^2 - 4*3*3 <=0
4k^2 <=9
-3/2 <= k <= 3/2
這部分已經如先前有人回文
從一元三次方程式係數本身來看
把方程式化成一個遞增的三次函數+一次函數(嚴格遞增、水平或嚴格遞減)
f(x) = x^3 + 3*(2k/3)*x^2 + 3*(2k/3)^2x +3x - 4k^2x/3 + (2k/3)^3 - (2k/3)^3
= (x+2k/3)^3 +(3-4k^2/3)x -(2k/3)^3
因此，只要保證 3-4k^2/3 >=0就可以保證f(x)為遞增函數
我們可以得到
9 >= 4k^2, -3/2 <= k <= 3/2 #
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