Re: [中學] 一題不等式
※ 引述《hotplushot (熱加熱)》之銘言：
: a>0, b>0, c>0, a+b+c=1,
: 求(a+1/a)^3+(b+1/b)^3+(c+1/c)^3最小值
根據廣易科西不等式
[(a+1/a)^3+(b+1/b)^3+(c+1/c)^3](1+1+1)(1+1+1)≧[(a+1/a)+(b+1/b)+(c+1/c)]^3
(所求)*3*3≧[(a+b+c)+(1/a+1/b+1/c)]^3 =(1+1/a+1/b+1/c)^3
得(所求)≧(1/9)(1+1/a+1/b+1/c)^3
等號成立於a+1/a=b+1/b=c+1/c
又根據科西不等式
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≧(1+1+1)^2=9
故1/a+1/b+1/c≧9 等號成立於a/(1/a)=b/(1/b)=c/(1/c)
得(所求)≧(1/9)(1+9)^3=1000/9
等號成立於a=b=c=1/3
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推
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