Re: 請教一個證明

看板Math作者arrenwu (不是綿芽的錯)時間1年前 (2022/10/14 16:17)推噓3(3推 0噓 1→)

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※ 引述《harry921129 (哈利~~)》之銘言： : a,b,c為正實數， 0<x<1 : 且c >= a >= b : 若c^x = a^x + b^x : 證 c > a+b : 我是以（a^x +b^x)^(1/x) 為遞減函數去證明 : 但是有點麻煩 : 就要請教不知道還有沒有其他更好的方法首先 c > a + b <==> c^x > (a+b)^x <==> a^x + b^x > (a+b)^x <==> (a/(a+b))^x + (b/(a+b))^x > 1 再來在閉區間 [0,1] 我們定義一個函數 f(t) = t^x + (1-t)^x 他的導函數 f'(t) = x/t^(1-x)/(1-t)^(1-x)*[ (1-t)^(1-x)-(t)^(1-x) ] 因為 0 < x < 1，我們可以得到 f'(t) > 0 in [0,1/2) and f'(t) > 0 in (1/2,1] 也就是說 f(t) 在 [0,1/2) 這段是嚴格遞增，而在 (1/2,1] 這段則嚴格遞減所以，f(t) 在 t= 0 和 t=1 的時候達到最小值 1 最後考慮 v = a/(a+b)，很明顯v值大於0且小於1 故 f(v) > 1，這樣我們就有 f(a/(a+b)) > 1 <==> (a/(a+b))^x + (b/(a+b))^x > 1 Q.E.D. 這樣有比較不麻煩一點嗎？ -- 與角卷綿芽去KTV唱歌 https://i.imgur.com/VFmibkg.jpg

https://i.imgur.com/174vz3L.jpg

原圖出處：https://twitter.com/Iwahadada/status/1384422041240039428 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 165.225.243.22 (美國) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1665735438.A.733.html ※ 編輯: arrenwu (165.225.243.22 美國), 10/14/2022 16:21:48

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harry921129

10/14 18:16, 1年前 , 1^F

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harry921129

10/14 18:16, 1年前 , 2^F

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harry921129

10/14 19:53, 1年前 , 3^F

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