[代數] 如何得到正確的解集

看板Math作者時間1年前 (2022/05/19 02:27), 編輯推噓4(4推 0噓 30→)
留言34則, 4人參與, 1年前最新討論串1/3 (看更多)
各位先進好，我想請教一對聯立代數問題。 a, b, c, d四個實數滿足下方二道等式 ac = bd (1) ad = -bc (2) 求解a, b, c, d 答案應該是{a=b=0} 或 {c=d=0}， 但是我一直得不到想要的結果。 以下是我的過程： 設ac=bd != 0 => abcd != 0 => c/d = -d/c => c=d=0矛盾 所以ac = bd = 0 不失一般性下設a=0 (1)：b=0或d=0 (2)：b=0或c=0 兩解集合取交集得{a=b=0} 或 {a=c=d=0} 問題卡在{a=c=d=0}要怎麼變成{c=d=0}？ 一般不是都可以在不失一般性下設其中一個變數為0， 為何這時得不到最後的答案呢？ 請各位先進幫忙告訴我錯在哪裡，要怎麼補救這個證明呢？ 感謝回答～ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.24.159.190 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1652898459.A.DE9.html
推
05/19 02:56, 1年前 , 1F
因為假設a=0就失去一般性了。
05/19 02:56, 1F
→
05/19 03:45, 1年前 , 2F
從線代和det下手吧？
05/19 03:45, 2F
推
05/19 07:53, 1年前 , 3F
「不失一般性」是要其他狀態也能化歸你的假設
05/19 07:53, 3F
→
05/19 07:54, 1年前 , 4F
但你這麼一來把 c=0 也變成 a=0 了, 自然找不到原本
05/19 07:54, 4F
→
05/19 07:55, 1年前 , 5F
應該是 c=d=0 的解 (被「不失一般性」變成a=b=0了)
05/19 07:55, 5F
→
05/20 03:36, 1年前 , 6F
謝謝以上三位的回答。想請問一下LPH大為何和c=0有關
05/20 03:36, 6F
→
05/20 03:37, 1年前 , 7F
能不能再說明得清楚，謝謝
05/20 03:37, 7F
推
05/20 04:04, 1年前 , 8F
ac=0 要分狀況為 a=0 或 c=0, 如果你把它統合成 a=0
05/20 04:04, 8F
→
05/20 04:04, 1年前 , 9F
就表示你此時把變數 a 和 c 的名字交換
05/20 04:04, 9F
→
05/20 04:05, 1年前 , 10F
但這麼一來要滿足 (2) 式你還得把 b 和 d 也交換
05/20 04:05, 10F
→
05/20 04:05, 1年前 , 11F
因此這表示你把 c=d=0 的解經由這個程序變成 a=b=0
05/20 04:05, 11F
→
05/20 05:24, 1年前 , 12F
Vulpix 說你「失去一般性」的意思就是, 進行上述的
05/20 05:24, 12F
→
05/20 05:24, 1年前 , 13F
「a,c 交換且 b,d 交換」的操作後, 把一些原有的解
05/20 05:24, 13F
→
05/20 05:25, 1年前 , 14F
變成別的樣子了以致於後來解完後無法還原
05/20 05:25, 14F
→
05/20 05:27, 1年前 , 15F
例如上面那一篇「不失一般性假設a≧b≧c」
05/20 05:27, 15F
→
05/20 05:27, 1年前 , 16F
討論完後如果要還原 (a,b,c) 的解必須加一句
05/20 05:27, 16F
→
05/20 05:27, 1年前 , 17F
「某某解及其排列」, 這就是在還原這「不失一般性」
05/20 05:27, 17F
→
05/20 05:28, 1年前 , 18F
的假設; 只是那題要求的是三數乘積所以可以不管而已
05/20 05:28, 18F
→
05/20 05:28, 1年前 , 19F
但你這裡是要討論解, 那就要還原你在這假設時做的
05/20 05:28, 19F
→
05/20 05:28, 1年前 , 20F
變動, 才能夠得回原題要的所有答案
05/20 05:28, 20F
→
05/20 18:55, 1年前 , 21F
謝謝LPH大，如果我想還原「不失一般性下」的變動，
05/20 18:55, 21F
→
05/20 18:56, 1年前 , 22F
就只能變成再討論a!=0的情況，這就又回到窮舉法了？
05/20 18:56, 22F
→
05/20 18:57, 1年前 , 23F
只是因為這題a!=0就是c=0，最後解的聯集會有點麻煩
05/20 18:57, 23F
→
05/20 18:57, 1年前 , 24F
不那麼直觀可以看出。還是我有誤會什麼？有更直接方
05/20 18:57, 24F
→
05/20 18:58, 1年前 , 25F
便的還原方法嗎？
05/20 18:58, 25F
→
05/20 22:53, 1年前 , 26F
更方便的還原方式就是「對稱」，c=0寫一遍，b=0一遍
05/20 22:53, 26F
推
05/20 22:56, 1年前 , 27F
，d=0也一遍。這三遍其實跟a的情況寫起來沒兩樣，像
05/20 22:56, 27F
→
05/20 22:56, 1年前 , 28F
c=0的那次其實是把(a,b)和(c,d)對調。
05/20 22:56, 28F
→
05/20 22:57, 1年前 , 29F
最後把這四個解集合聯集起來就好。
05/20 22:57, 29F
→
05/20 22:58, 1年前 , 30F
因為寫起來沒兩樣，所以可以用WLOG省略掉。
05/20 22:58, 30F
→
05/20 22:58, 1年前 , 31F
你想要WLOG，就要知道自己是怎麼才能沒有失去一般性
05/20 22:58, 31F
→
05/20 23:07, 1年前 , 32F
沒仔細看前面的推文，跟LPH大寫的意思一樣。
05/20 23:07, 32F
→
05/22 04:34, 1年前 , 33F
謝謝V大，把各種情況用聯集連結，我就怕我化簡不到
05/22 04:34, 33F
→
05/22 04:35, 1年前 , 34F
最後最乾淨的結果
05/22 04:35, 34F
‣ 更多 Lanjaja 的文章
文章代碼(AID): #1YXJgRtf (Math)
‣ 更多 Lanjaja 的文章
文章代碼(AID): #1YXJgRtf (Math)