[中學] 極限問題

看板Math作者 (這就是暱稱)時間2年前 (2021/10/05 23:18), 編輯推噓6(6推 0噓 26→)
留言32則, 7人參與, 2年前最新討論串4/4 (看更多)
今天看到中山女中自編教材： https://i.imgur.com/kQNaOpG.jpg
1-9題答案好像都跟e有關，新課綱有加入e的教材在高中課程，但似乎沒有著默太多 但有點不知道怎麼跟高三生証明 (n→+∞)lim(1+ 1/n)^n=e 想請各位幫忙一下，謝謝~~ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 101.137.219.202 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1633447109.A.70E.html
推
10/05 23:21, 2年前 , 1F
跟他說是定義。
10/05 23:21, 1F
→
10/05 23:22, 2年前 , 2F
極限存在的理由大概就是遞增又有上界，讓他體會。
10/05 23:22, 2F
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10/05 23:23, 2年前 , 3F
遞增方面我想得到的最簡單作法至少需要多數字的算幾
10/05 23:23, 3F
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10/05 23:24, 2年前 , 4F
不等式，但這個高中已經不教了。要不然大絕就是：
10/05 23:24, 4F
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10/05 23:24, 2年前 , 5F
計算機多按幾次，看起來收斂了。
10/05 23:24, 5F
推
10/06 08:12, 2年前 , 6F
我也想知道怎麼證明
10/06 08:12, 6F
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10/06 08:43, 2年前 , 7F
改寫n->0 還要用到一點微積分{羅必達法則}
10/06 08:43, 7F
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10/06 08:46, 2年前 , 8F
高三有教微積分？ 脫離學生時代太久了
10/06 08:46, 8F
推
10/06 08:52, 2年前 , 9F
這些問題用 L'Hospital's rule 只有更難做而已
10/06 08:52, 9F
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10/06 09:02, 2年前 , 10F
可用羅必達還好吧 lim(1+ n)^(1/n) ,{n->0}
10/06 09:02, 10F
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10/06 09:03, 2年前 , 11F
e ^ {ln(1+n)/n} ,{n->0} 0/0 羅必達
10/06 09:03, 11F
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10/06 09:03, 2年前 , 12F
=e^1
10/06 09:03, 12F
推
10/06 09:27, 2年前 , 13F
你那個使用羅必達的做法，除了得要引羅必達法則之外
10/06 09:27, 13F
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10/06 09:28, 2年前 , 14F
，還需要知道 ln(x) 的導函數是 1/x
10/06 09:28, 14F
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10/06 09:29, 2年前 , 15F
但在那之前的進度老早就會包含 e^x = lim (1+x/n)^n
10/06 09:29, 15F
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10/06 09:30, 2年前 , 16F
然後這個(1)-(9)就解完了
10/06 09:30, 16F
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10/06 09:36, 2年前 , 17F
開頭就說要用到微積分
10/06 09:36, 17F
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10/06 09:39, 2年前 , 18F
二項式展開後的第k項為C(n,k)(1/n)^k
10/06 09:39, 18F
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10/06 09:39, 2年前 , 19F
= 1/k! n(n-1)(1-2/n)...(n-k+1) (1/n)^k
10/06 09:39, 19F
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10/06 09:40, 2年前 , 20F
= 1/k! 1(1-1/n)(1-2/n)...(1-(k-1)/n)
10/06 09:40, 20F
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10/06 09:41, 2年前 , 21F
所以第k項隨n遞增, 總和也隨n遞增
10/06 09:41, 21F
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10/06 09:42, 2年前 , 22F
第二行打錯, 應該是
10/06 09:42, 22F
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10/06 09:42, 2年前 , 23F
= 1/k! n(n-1)(n-2)...(n-k+1) (1/n)^k
10/06 09:42, 23F
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10/06 09:43, 2年前 , 24F
但是要怎麼證明有上界?
10/06 09:43, 24F
推
10/06 09:46, 2年前 , 25F
你用二項式展開，可以證明他會比 1+1/1! + 1/2! ...
10/06 09:46, 25F
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10/06 09:46, 2年前 , 26F
小。然後那個級數是收斂的
10/06 09:46, 26F
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10/06 09:57, 2年前 , 27F
了解 謝謝a大
10/06 09:57, 27F
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10/06 10:52, 2年前 , 28F
現在高中會教1+1/1!+1/2!+...收斂的嗎？
10/06 10:52, 28F
推
10/06 11:04, 2年前 , 29F
用1+1+1/1/2+1/2/3+1/3/4+...就好，這個有教。
10/06 11:04, 29F
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10/06 21:34, 2年前 , 30F
想到了,只要比 1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + ...
10/06 21:34, 30F
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10/06 21:34, 2年前 , 31F
小, 也可以, 這個一定有教
10/06 21:34, 31F
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10/06 23:19, 2年前 , 32F
非常感謝大家
10/06 23:19, 32F
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