Re: [中學] 取球數期望值

看板Math作者arrenwu (不是綿芽的錯)時間4年前 (2021/07/17 13:55)推噓6(6推 0噓 15→)

留言21則, 4人參與討論串3/4 (看更多)

※ 引述《Refauth (山丘上的長號手)》之銘言： : ※ 引述《takeyourtime (鐘點戰)》之銘言： : : 袋中3紅、7白球 : : 一次取一個不放回 : : 問： : : （1）取得第一個紅球，球數期望值___ : : （2）取得第二個紅球，球數期望值___ : : （3）紅球取完的球數期望值___ : : 11/4，11/2，33/4 : : 請前輩們指點 : 半夜想這題睡不著...QQ 看到第一題我直接想到一個奇怪的東西.... : 3/10 x 1 + : 7/10 x 3/9 x 2 + : 7/10 x 6/9 x 3/8 x 3 + : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 3/7 x 4 + : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 5 + : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 3/5 x 6 + : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 3/4 x 7 + : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 1/4 x 3/3 x 8 + : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 1/4 x 3/3 x 2/2 x 0 + : 7/10 x 6/9 x 5/8 x 4/7 x 3/6 x 2/5 x 1/4 x 3/3 x 2/2 x 1/1 x 0 : =？ : ......這算完我就自爆了這什麼東西？如果我們定義 X 為問題 (1)中的取得第一個紅球所需要的球數 8 你等於是用 E[X] = Σ Pr(X=x) * x 在計算期望值。 x=1 Pr(R=x) = (10-x)(9-x)/240 ，所以你其實算得出closed-form solution 只是過程應該不是很舒服不過呢，這題目問的是期望值，所以可以用 Linearity of Expectation 來處理也就是：給定隨機變數 X,Y,Z，如果 Z = X + Y 則 E[Z] = E[X] + E[Y] (但這高中有教嗎？) 原本那篇推文下面有個滿heuristic的作法，看起來是很不賴。但這種heuristic的作法，有一定風險。因為每個人都會有屬於自己的直覺，但直覺並不總是對的。這也是為什麼我覺得在我當機率助教，學生所問的古典機率問題裡面，最難回答的就是「為什麼我這樣算會算錯？」其實問題通常是沒有明確定義問題中的隨機變數。這個定義不明確的時候，大家的溝通也會變得比較困難所以我們用一個比較沒爭議的寫法首先我把白球和紅球各自打上編號：白球是 w_1,w_2, ... w_7 紅球是 r_1,r_2,r_3 然後我接著定義四個隨機變數 Z0,Z1,Z2,Z3 分別為 Z0 = 第一個紅球前的白球數量 Z1 = 第一和第二個紅球之間的白球數量 Z2 = 第二和第三個紅球之間的白球數量 Z3 = 第三個紅球之後的白球數量問題(1) 則是在問 E[Z0+1] 好，定義完要怎麼算呢？是這樣的，如果我們定義隨機變數 I(0,j) = 1 , 如果 w_j 出現在第一顆紅球前面 0 , 其他那麼可得到 Z0 = I(0,1) + I(0,2) + .... + I(0,7) 7 = Σ I(0,j) j=1 7 所以 E[Z0] = Σ E[I(0,j)] by linearity of expectation j=1 7 = Σ Pr(w_j 出現在第一顆紅球前面) j=1 讓我們先考慮: Pr(w_1 出現在第一顆紅球前面) = Pr(w_1 出現在 r_1, r_2, r_3 前面) 在這10個球總共10!種排列方式中，我們可以用 w_1, r_1, r_2, r_3 這四顆球的相對順序去區分他們。這每一個相對順序包含的排列方式數量會是一樣多的比如：滿足 (w_1, r_1, r_2, r_3) 相對順序的排列數量，跟滿足 (r_1, w_1, r_2, r_3)相對順序的排列數量是一樣的為什麼呢？因為任一個滿足 (w_1, r_1, r_2, r_3)相對順序的排列，你把其中的 w_1 跟 r_1 位置交換，就會是滿足 (r_1, w_1, r_2, r_3) 。而且這是一個 one-to-one and onto 的關係我講了半天，想講的就是 10 顆球裡面 w_1出現在 r_1 r_2 r_3 前面的機率，跟只有 w_1, r_1 , r_2 ,r_3 四顆球時 w_1出現在 r_1 r_2 r_3 前面的機率是一樣的所以 Pr(w_1 出現在 r_1, r_2, r_3 前面) = 3!/4! = 1/4 因此 E[I(0,1)] = Pr(w_1 出現在 r_1, r_2, r_3 前面) = 1/4 然後你們很聰明，一定自己看/算得出 E[I(0,j)] = 1/4 這樣我們就能得到 E[Z0] = 7*1/4 = 7/4 而問題(1)問的是 E[Z0+1] = E[Z0] + 1 = 11/4 好，那問題(2)呢？其實問題(2)問的就是 E[Z0 + 1 + Z1 + 1] = E[Z0] + E[Z1] + 2 E[Z0] = 11/4 我們已經算出來了 E[Z1] 呢？我又要故技重施了定義隨機變數 I(1,j) = 1 , 如果 w_j 出現在第一顆和第二顆紅球之間 0 , 其他情況 7 然後就又有 E[Z1] = Σ E[I(1,j)] j=1 7 = Σ Pr(w_j 出現在第一顆和第二顆紅球之間) j=1 大家都很聰明，多半看得出我們知需要算 Pr(w_1 出現在第一顆和第二顆紅球之間) 而且就同上面推論，會得到我們只需要看只有 w_1, r_1, r_2, r_3 四顆球的時候， w_1 在第一顆紅球和第二顆紅球之間的機率，然後又很明顯地就是 1/4 所以 E[Z1] = 7/4 ，故問題(2)的答案是 7/4+7/4+2 = 11/2 其實現在大家應該看得出來，E[Z0] = E[Z1] = E[Z2] = E[Z3] = 7/4 當然我想很多人一定可以有各種靈感得出這結論。我只是提供一個我覺得比較清晰的呈現方式不過呢，有時候問題想不出來，需要點靈感。這種時候，我滿推薦看角卷綿芽的直播然後呢，我跟你說喔，角卷綿芽今天晚上九點會開100萬訂閱耐久歌台喔！ Link: https://youtu.be/jPribVolmYA

Watame No.1 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! -- 鳳雛的清楚講習 https://i.imgur.com/23pfZv9.jpg

https://i.imgur.com/wD6J6li.jpg

-- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 98.45.135.233 (美國) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1626501304.A.CAC.html

推

frekfrek

07/17 14:00, 4年前 , 1^F

07/17 14:00, 1^F

推

emptie

07/17 15:59, 4年前 , 2^F

07/17 15:59, 2^F

推