Re: [中學] 110學測多選第13題

看板Math作者kilva (嗡嗡)時間3年前 (2021/01/24 15:19)推噓5(5推 0噓 2→)

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※ 引述《mj813 (薩坨十二惡皆空)》之銘言： : fx = x^3+ax^2+bx+c : a,b,c為有理數，選正確的選項。 : 想請問（4）（5）兩個選項... : （4）存在a,b,c : 使得f1,f2,f3,f4依序成等差 : （5）存在a,b,c : 使得f1,f2,f3,f4依序成等比 : 該如何判斷與證明對錯呢？感恩！ f1 = 1+ a+ b+c f2 = 8+ 4a+2b+c f3 = 27+ 9a+3b+c f4 = 64+16a+4b+c 當為等差時，f2-f1=f3-f2=f4-f3 3a+b+7=5a+b+19=7a+b+37 => 3a+7=5a+19=7a+37 很明顯地無解。當為等比時，設f2/f1=f3/f2=f4/f3=r， 8+4a+2b+c=r(1+a+b+c), 27+9a+3b+c=r^2(1+a+b+c), 64+16a+4b+c=r^3(1+a+b+c) => 5a+b+19=r(r-1)(1+a+b+c), 7a+b+37=r^2(r-1)(1+a+b+c) => 2a+18=r(r-1)^2(1+a+b+c) => a = -9+r(r-1)^2(1+a+b+c)/2, b=26+r(r-1)(7-5r)(1+a+b+c)/2, c=-24+r(3r^2-8r+6)(1+a+b+c) 1+a+b+c=-6+r(r^2-3r+3)(1+a+b+c) => 1+a+b+c=6/(r^3-3r^2+3r-1) 因此，可得 a=-9+3r(r-1)^2/(r^3-3r^2+3r-1), b=26+3r(r-1)(7-5r)/(r^3-3r^2+3r-1), c=-24+6r(3r^2-8r+6)/(r^3-3r^2+3r-1) 除r=1外，f1、f2、f3、f4為比例為r的等比級數，且當r為有理數時，a、b、c為有理數。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.36.141.134 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1611472760.A.745.html

推

reye

01/24 16:01, 3年前 , 1^F

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reye

01/24 16:01, 3年前 , 2^F

01/24 16:01, 2^F

※ 編輯: kilva (114.36.141.134 臺灣), 01/24/2021 17:00:35

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eric911116

01/24 22:15, 3年前 , 3^F