Re: [代數] 證明空集合是任意集合的子集合

看板Math作者annboy (BlueGun)時間5年前 (2020/02/23 01:17)推噓3(3推 0噓 10→)

留言13則, 4人參與討論串2/3 (看更多)

※ 引述《LandLawrence (Lawrence)》之銘言： : 坊間常看到若要證明空集合｛｝是任意集合S的子集合，出發點是驗證空集合｛｝裡的所 : 有元素x都是集合S的元素 : If x屬於{}, then x屬於S : 然而因為前提x屬於｛｝為假，所以這整個推論為真。 : 但是我認為同樣 : If x屬於{}, then x不屬於S : 這個邏輯推論亦可為真。請問數學及邏輯高手的大大們，是我有誤解了什麼嗎？空集合怎 : 麼可以是任意集合的子集合也可以不是任意集合的子集合呢？ https://reurl.cc/Rda9Mz 做些整理，然後用完整的邏輯符號敘述 Φ代表空集合("the" empty set) 敘述一: (每一列都是邏輯等價) Φ is a subset of every set. ∀S(Φ⊆S) ∀S∀x(x∈Φ→x∈S) 敘述二: ∀S∀x(x∈Φ→﹁(x∈S)) ∀S∀x(﹁(x∈Φ)Ｖ﹁(x∈S)) 敘述三:(每一列都是邏輯等價) Φ is not a subset of any set. ∀S﹁(Φ⊆S) ∀S﹁(∀x(x∈Φ→x∈S)) ∀S∃x﹁(x∈Φ→x∈S)) ∀S∃x﹁(﹁(x∈Φ)Ｖ(x∈S))) ∀S∃x((x∈Φ)Λ﹁(x∈S)) 說明: 因為 x∈Φ→x∈S 是vacuously true，所以 x∈Φ→﹁(x∈S) 也是vacuously true。故，敘述一是true，敘述二也是true。但是敘述二不等價於這句話"Φ is not a subset of any set."，理由請比較敘述二和敘述三。至於敘述二要怎麼用英文(或其他自然語言)敘述，我沒想出來，可能沒辦法簡單敘述。另外，敘述三是false理由是因為 ∃x((x∈Φ)Λ﹁(x∈S)) implies "Φ is not empty"。這樣就矛盾了，因為我們已經假設Φ是空集合。這部分是參考網址裡的一樓 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 122.121.87.229 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1582391848.A.7C9.html ※ 編輯: annboy (122.121.87.229 臺灣), 02/23/2020 01:33:43

→

ERT312

02/23 02:19, 5年前 , 1^F

02/23 02:19, 1^F

→

ERT312

02/23 02:21, 5年前 , 2^F

02/23 02:21, 2^F

→

ERT312

02/23 02:22, 5年前 , 3^F

02/23 02:22, 3^F