[代數] 證明空集合是任意集合的子集合

看板Math作者 (Lawrence)時間5年前 (2020/02/22 18:31), 5年前編輯推噓5(5推 0噓 57→)
留言62則, 6人參與, 5年前最新討論串1/3 (看更多)
感謝這麽多熱烈回應，為了減省討論所需的字數，增加一些定義跟編號方便討論！ A為B的子集合定義: A所有的元素全都是B的元素，稱為1-1 A不是B的子集合則為： A的元素不全都是B的元素，稱為1-2 A中存在至少一個元素不為B之元素，為0-2 坊間常看到若要證明空集合｛｝是任意集合S的子集合，出發點是驗證空集合｛｝裡的所 有元素x都是集合S的元素 If x屬於{}, then x屬於S，稱為1-1 然而因為前提x屬於｛｝為假，所以這整個推論為真。 但是我認為同樣 If x屬於{}, then x不屬於S，稱為2-1 這個邏輯推論亦可為真。請問數學及邏輯高手的大大們，是我有誤解了什麼嗎？空集合怎 麼可以是任意集合的子集合也可以不是任意集合的子集合呢？ 補充： 存在元素x，x是空集合｛｝的元素且不是S的元素，稱為2-2 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 42.73.37.203 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1582367501.A.564.html
推
02/22 18:55, 5年前 , 1F
我有個看法，雖然你寫的兩句都是vacuously true
02/22 18:55, 1F
推
02/22 18:56, 5年前 , 2F
你的推論是對的，然而你的推論並不是
02/22 18:56, 2F
→
02/22 18:56, 5年前 , 3F
「不是子集合」的滿足條件。
02/22 18:56, 3F
→
02/22 18:56, 5年前 , 4F
「空集合不是S的子集合」需要檢查的是
02/22 18:56, 4F
→
02/22 18:56, 5年前 , 5F
「空集合裡"存在"某一元素不屬於S」，
02/22 18:56, 5F
→
02/22 18:56, 5年前 , 6F
但是空集合裡沒有存在這樣的元素，
02/22 18:56, 6F
→
02/22 18:56, 5年前 , 7F
故空集合不滿足「不是S的子集合」
02/22 18:56, 7F
transik 但是我覺得按照同樣的標準，空集合裡也不存在有在S內的元素，這樣是不是也 不滿足是S子集合的條件。因為我覺得要為S的子集合的條件是，一集合所有的元素都是S 的元素。
→
02/22 18:57, 5年前 , 8F
抱歉annboy我好像斷到你囧
02/22 18:57, 8F
→
02/22 18:57, 5年前 , 9F
但第二句的contrapositive是FLASE，所以只認第一句
02/22 18:57, 9F
→
02/22 18:58, 5年前 , 10F
沒關係OUO
02/22 18:58, 10F
→
02/22 19:02, 5年前 , 11F
更正一下是FALSE才對 Orz
02/22 19:02, 11F
annboy 不好意思我不太懂contrapositive，可以說一下怎麼操作嗎～ ※ 編輯: LandLawrence (42.73.37.203 臺灣), 02/22/2020 19:34:14 ※ 編輯: LandLawrence (42.73.37.203 臺灣), 02/22/2020 19:34:58 ※ 編輯: LandLawrence (42.73.37.203 臺灣), 02/22/2020 19:39:19 ※ 編輯: LandLawrence (42.73.37.203 臺灣), 02/22/2020 20:08:12
→
02/22 20:26, 5年前 , 12F
P->Q的contrapositive 是 !Q->!P , google關鍵字就
02/22 20:26, 12F
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02/22 20:26, 5年前 , 13F
有
02/22 20:26, 13F
意思是若非Q則非P嗎？如果是，那麼我整理一下。 原文章中，第二個命題的contrapositive 為： If x屬於S, then x不屬於{} 這不是true嗎？為什麼是false ※ 編輯: LandLawrence (42.73.37.203 臺灣), 02/22/2020 20:37:20
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02/22 22:58, 5年前 , 14F
你說得對，我搞錯了，我想想其他方向
02/22 22:58, 14F
謝謝大大，我想好久了想不透這個證明啊～～ ※ 編輯: LandLawrence (42.73.37.203 臺灣), 02/22/2020 23:00:43
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02/22 23:25, 5年前 , 15F
你要連著述詞講，第二個敘述不是用Vacuously True
02/22 23:25, 15F
→
02/22 23:27, 5年前 , 16F
一開始的定義是∀x(x∈A→x∈B)
02/22 23:27, 16F
→
02/22 23:29, 5年前 , 17F
而你想表達的第二種是∃x(x∈A and x!∈B)
02/22 23:29, 17F
→
02/22 23:30, 5年前 , 18F
這時第二種不是Vacuouly True，而是它的否定
02/22 23:30, 18F
→
02/22 23:31, 5年前 , 19F
也就是恆為F
02/22 23:31, 19F
Ricestone 我好像懂你的意思。我整理一下，原文第二種表達的意思會是 所有在｛｝中的元素，都不屬於S。這句是true，我稱作2-1。 你給的陳述是 存在元素x，x是｛｝的元素且不是S的元素 。這是false，我稱作2-2。 2-2很像非子集合的定義，因為是false，所以不存在元素x是屬於｛｝且不是S的子集合。 但是2-1的推論依然為真，這還是令人很困惑。 甚至我覺得從定義出發，若A為B的子集合，則A所有的元素都是B的元素來看，A非為B之子 集合定義應是並非所有A之元素皆為B之元素，若進而說A至少有一個不為B之元素(0-2)是 有點問題的。因為非子集合定義並沒有明確排除若A不含任何元素是否合並非所有元素皆 為B之元素的範疇。所以我覺得在證明出來空集合是任意集合的子集合前，使用(0-2)不太 妥當。
→
02/22 23:46, 5年前 , 20F
02/22 23:46, 20F
→
02/22 23:46, 5年前 , 21F
這篇是我目前找到最相關的了 可以參考看看
02/22 23:46, 21F
annboy 這篇好像有講到我的困惑，我邏輯符號運算這兩天才讀，不太流利。待我消化一 下 ※ 編輯: LandLawrence (42.73.37.203 臺灣), 02/23/2020 00:44:02
→
02/23 01:56, 5年前 , 22F
你的問題就是 "不是子集合"的定義錯了
02/23 01:56, 22F
→
02/23 01:57, 5年前 , 23F
我寫的第二種才是"不是子集合"的定義，實際上就是
02/23 01:57, 23F
→
02/23 01:57, 5年前 , 24F
第一句話的否命題
02/23 01:57, 24F
→
02/23 01:59, 5年前 , 25F
講錯了，這不叫否命題，是第一句的否定而已
02/23 01:59, 25F
→
02/23 02:00, 5年前 , 26F
你內文講的兩種事情當然都對，但是否子集合不是只看
02/23 02:00, 26F
→
02/23 02:00, 5年前 , 27F
你內文這兩句 重點就是你這樣寫沒有量詞
02/23 02:00, 27F
→
02/23 02:10, 5年前 , 28F
你要先知道限定範圍之全稱敘述的否定該怎麼變
02/23 02:10, 28F
→
02/23 02:15, 5年前 , 29F
我用你的記號，(2-1)我是已經把它寫成容易邏輯推演
02/23 02:15, 29F
→
02/23 02:17, 5年前 , 30F
的形式，實際上常見的會是∀x∈A(x∈B)
02/23 02:17, 30F
→
02/23 02:19, 5年前 , 31F
而(2-2)常見的敘述就是∃x∈A(~(x∈B))
02/23 02:19, 31F
→
02/23 02:19, 5年前 , 32F
你可以看到全稱跟存在這兩種敘述外觀上很像，但其實
02/23 02:19, 32F
→
02/23 02:20, 5年前 , 33F
拆開來的樣子是不一樣的，一個是if then，一個是and
02/23 02:20, 33F
→
02/23 02:49, 5年前 , 34F
啊我看錯了，我說的(2-1)指的是我給的"子集合"定義
02/23 02:49, 34F
→ Ricestone : 總之你的2-1無法判斷是否子集合，也就是transk講的 02/23 02:52 Ricestone 是，我們歧異就在非子集合的定義上。因為我認為當引入空集合的定義後，還 應該定義非子集合為：A至少存在一個元素不為B之元素嗎？因為空集合對某些人的直覺來 說顯然也不合子集合的定義：所有A之元素皆為B的元素（1-1）所以我才想應該要有一個 更強的證明是不先以0-2來定義空集合。也就是在有空集合存在的情況下，2-2還能是子集 合定義1-1的否定嗎？ 另外2-1雖然不能判斷是否為非子集合，但顯然是非子集合的一種情況，所以我覺得還是 與2-1矛盾。
→
02/23 03:00, 5年前 , 35F
為何2-1為真會令原po困惑? 2-1的意思不就是空集合是
02/23 03:00, 35F
→
02/23 03:02, 5年前 , 36F
S的餘集(U\S)的子集。空集是任何集合的子集 自然也
02/23 03:02, 36F
→
02/23 03:02, 5年前 , 37F
會是S'的子集
02/23 03:02, 37F
哇哇哇！ERT312高手高手高高手！瞭解！ ERT312 不好意思，我想想又覺得不太對。因為這樣雖然空集合是S'的子集合，但就不是S 的子集了，如此就不是所有集合的子集合 ※ 編輯: LandLawrence (42.73.37.203 臺灣), 02/23/2020 08:15:15
推
02/23 08:17, 5年前 , 38F
所以果然你還是糾結在「子集合」的定義上
02/23 08:17, 38F
→
02/23 08:18, 5年前 , 39F
你的「顯然也不合子集合的定義」即是 Vacaous Truth
02/23 08:18, 39F
→
02/23 08:18, 5年前 , 40F
的概念: 因為前件為假所以整個推論為真
02/23 08:18, 40F
→
02/23 08:19, 5年前 , 41F
而這個推論為真即是子集合的定義
02/23 08:19, 41F
推
02/23 08:21, 5年前 , 42F
也就是說, 這條推論是為 Vacaous Truth
02/23 08:21, 42F
→
02/23 08:21, 5年前 , 43F
→空集合符合這個子集合定義→空集合是所有集合子集
02/23 08:21, 43F
→
02/23 08:21, 5年前 , 44F
你的問題應該就卡在這個推論串的第二點上吧
02/23 08:21, 44F
→
02/23 08:23, 5年前 , 45F
集合 A 不會既是又不是集合 B 的子集, 所以一旦給了
02/23 08:23, 45F
→
02/23 08:24, 5年前 , 46F
「是 B 的子集合」的定義, 就能得到「不是 B 的子集
02/23 08:24, 46F
→
02/23 08:24, 5年前 , 47F
合」的定義, 這不是你能夠分開另給定義的東西
02/23 08:24, 47F
→
02/23 08:26, 5年前 , 48F
你的符號除了明講2-1跟2-2的以外什麼是什麼？
02/23 08:26, 48F
→
02/23 08:29, 5年前 , 49F
是有括號的前面代表你的定義是嗎？
02/23 08:29, 49F
→
02/23 08:32, 5年前 , 50F
講清楚一點，2-1這定義過強（適用範圍小），當然會
02/23 08:32, 50F
→
02/23 08:32, 5年前 , 51F
導致兩種說法中間會不同的狀態啊
02/23 08:32, 51F
→
02/23 08:38, 5年前 , 52F
不對，我被你弄糊塗了 2-1是講空集合不是講子集
02/23 08:38, 52F
→
02/23 08:39, 5年前 , 53F
我現在是看不懂你為何說非子集合不應該那樣定義
02/23 08:39, 53F
※ 編輯: LandLawrence (42.73.37.203 臺灣), 02/23/2020 08:46:18
→
02/23 08:46, 5年前 , 54F
不然你可以試著用你的非子集合定義推論子集合定義
02/23 08:46, 54F
Ricestone 我把編號整理在原文中，我也再想一想你所說。我認為不該以0-2定義是因為1 -1的否定是1-2: A的元素不全都是B之元素。假如有規定一個集合一定至少要有一個元素 ，那麼我認為0-2是對的。但是有空集合存在，那麼空集合乍看之下似乎也滿足不全都是B 的元素規範。 ※ 編輯: LandLawrence (42.73.37.203 臺灣), 02/23/2020 12:12:28 ※ 編輯: LandLawrence (42.73.37.203 臺灣), 02/23/2020 12:36:42
→
02/23 12:23, 5年前 , 55F
它就同時是S'跟S的子集合 你現在用太多感覺了
02/23 12:23, 55F
→
02/23 12:24, 5年前 , 56F
反正那連結裡面最終想講的跟大家講的一樣
02/23 12:24, 56F
→
02/23 12:24, 5年前 , 57F
你的子集合定義推導出的非子集合的定義不對
02/23 12:24, 57F
→
02/23 12:26, 5年前 , 58F
你這樣大概還會多另一個問題，我先回答
02/23 12:26, 58F
→
02/23 12:26, 5年前 , 59F
屬於跟包含於是不一樣的
02/23 12:26, 59F
→
02/23 12:39, 5年前 , 60F
1-1的否定不是1-2，是0-2
02/23 12:39, 60F
→
02/23 12:40, 5年前 , 61F
你應該要寫成邏輯語言，中文的不放在那邊很尷尬
02/23 12:40, 61F
Ricestone 對，我好像知道盲點在哪裡了。
推
02/23 13:49, 5年前 , 62F
「不全都」就是「有的不是」，要「有」啊……
02/23 13:49, 62F
※ 編輯: LandLawrence (42.73.37.203 臺灣), 02/23/2020 14:03:44
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