Re: [其他] 如何用軟體判斷不等式恆真？

看板Math作者coldeye (知其不可奈何而安之若命)時間6年前 (2019/05/24 21:59)推噓1(1推 0噓 12→)

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: : ※ 引述《Desperato (肥鵝)》之銘言： : : 給定 0<a,a',b,b'<1, a+a'<=1, b+b'<=1 : : b<a, 1/2<a', 0<m<n, m,n為自然數 : : (1) b^n*b'^m < a^m*a'^n 附上我的證法，不知道有沒有錯誤。 [b^(n-m)] [b^m*b'^m] <= [b^(n-m)][(b+b')^2m / 2^2m] (from the AM-GM inequality) <= [b^(n-m)][(b+1-b)^2m / 2^2m] (from b+b'<= 1) = b^(n-m)/2^2m < [b^(n-m)] [a’^2m] (from 1/2 < a') < [a^(n-m)] [a’^2m] (from b < a) < a^m * a’^n (from 1/2 < a' & a+a'<= 1) 我是想拿掉1/2 < a’這項條件，或是找到比它更寬鬆的條件，或是有其他比AM-GM範圍更緊的不等式但目前找不到就是了這也是為什麼我想藉助程式的原因之一可以設定一些條件讓它去跑看看結論是否成立 : -- : ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 84.13.86.217 : ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1558646001.A.6CC.html : → Desperato : 重來要證(b/a')^n < (a/b')^m 全對或有反例 05/24 12:24 : → Desperato : 沒有1/2<a' 的話只要 b/a'>1>a/b' 必炸 05/24 12:28 : → Desperato : 設 b+b'=1, b=a=1/2-e, a'=1/2+e^2 05/24 12:42 : → Desperato : 則 (b/a')^(2-d)/(a/b') = [(1-4e^2)/(1+2e^2)] [ 05/24 12:50 : → Desperato : (1+2e^2)/(1-2e)]^d 05/24 12:50 這邊我看不太懂 b<a 為何這邊設b=a? 另外就算b=a好了如何得出[(1-4e^2)/(1+2e^2)]? 應該是[(1-4e^2)/(1+2e^2)^2] 是嗎? : → Desperato : d>0, 只要 e 夠小上面這個數字會大於1 05/24 12:52 : → Desperato : 所以當 n<2m 的時候會有反例 05/24 12:52 : → Desperato : n >= 2m 只要證明 n=2, m=1 就夠了 05/24 12:53 : → Desperato : (b/a')^2 < (2b)^2 < (2b)/(2b') < a/b' 05/24 12:57 : → Desperato : 第一個是a'>1/2, 第三個是b<a 05/24 12:58 : → Desperato : 第二個是 (2b)(2b') < (b+b')^2 <= 1 05/24 13:00 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 84.13.86.217 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1558706371.A.807.html

推

Desperato

05/24 22:17, 6年前 , 1^F

05/24 22:17, 1^F

我不懂題目給定的條件就是b < a 為何要設定b=a? 找反例不是應該是要根據題目的條件去找找到了違反結論的情況才算反例?

→

Desperato

05/24 22:18, 6年前 , 2^F

05/24 22:18, 2^F

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Desperato

05/24 22:23, 6年前 , 3^F