Re: [其他] 如何用軟體判斷不等式恆真？

看板Math作者 (知其不可奈何而安之若命)時間6年前 (2019/05/24 05:13), 6年前編輯推噓2(2推 0噓 16→)
留言18則, 2人參與, 6年前最新討論串3/5 (看更多)
謝謝回文。 先複述一下你的(1)和(2)。 (1) b^n*b'^m < a^m*a'^n (2) b*b' <= a*a' 你的意思是說：K:{若b*b' > a*a'，則b^n*b'^m >= a^m*a'^n}，是嗎？ 因為若(1)則(2)，等同於若非(2)，則非(1)。 若是的話，那麼我必須說你所謂的反例，恰巧是上面K的反例。 怎麼說呢？ 原本的條件有0<m<n，且m,n為自然數， 讓我們假設m=1, n=2好了。 加上你提供的數字：a=0.25, a'=0.6, b=0.2, b'=0.8。 0.2*0.8 >= 0.25*0.6，表示非(2)。 0.2^2*0.8 < 0.25*0.6^2，卻表示(1)。 由於非(2)&(1)，所以K不成立。 ※ 引述《Desperato (肥鵝)》之銘言： : 給定 0<a,a',b,b'<1, a+a'<=1, b+b'<=1 : b<a, 1/2<a', 0<m<n, m,n為自然數 : (1) b^n*b'^m < a^m*a'^n : (2) b*b' <= a*a' : (Thm1) (1) iff (2) : (pf) Note that b/a' < 1 : "=>" if b/a' > a/b', then b/a' => (a/b')^r : for some r=m/n close to 1 : thus (b/a')^n => (a/b')^m : "<=" (b/a')^n < (b/a')^m <= (a/b')^m : (Thm2) (2) does not hold : (pf) a=0.25, a'=0.6, b=0.2, b'=0.8 : is a counterexample : Therefore (1) fails. : one can use Thm1 to obtain : a counterexample for (1) : p.s. if a+a'=b+b', then (2) holds : p.s. if no 1/2<a', then b/a' may => 1 : which make (1) fails when m, n is big : : ---- : Sent from BePTT -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 84.13.86.217 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1558646001.A.6CC.html ※ 編輯: coldeye (84.13.86.217), 05/24/2019 05:31:39
推
05/24 12:11, 6年前 , 1F
(1) 是 for all m<n integer
05/24 12:11, 1F
→
05/24 12:12, 6年前 , 2F
如果你的要求是固定 m, n 的話
05/24 12:12, 2F
→
05/24 12:13, 6年前 , 3F
那 (1) 的證明就會給你反例 所以必定fails
05/24 12:13, 3F
→
05/24 12:18, 6年前 , 4F
ex: a+a'=b+b'=1, a=0.4, b=0.4-0.0...01
05/24 12:18, 4F
→
05/24 12:18, 6年前 , 5F
隨著 0.0...1 的 0 越多 b 會趨近於 a
05/24 12:18, 5F
→
05/24 12:20, 6年前 , 6F
嗯 好像反了 不太對
05/24 12:20, 6F
→
05/24 12:24, 6年前 , 7F
重來 要證(b/a')^n < (a/b')^m 全對或有反例
05/24 12:24, 7F
推
05/24 12:25, 6年前 , 8F
直接做線性規劃呢？
05/24 12:25, 8F
→
05/24 12:28, 6年前 , 9F
沒有1/2<a' 的話 只要 b/a'>1>a/b' 必炸
05/24 12:28, 9F
→
05/24 12:42, 6年前 , 10F
設 b+b'=1, b=a=1/2-e, a'=1/2+e^2
05/24 12:42, 10F
→
05/24 12:50, 6年前 , 11F
則 (b/a')^(2-d)/(a/b') = [(1-4e^2)/(1+2e^2)] [
05/24 12:50, 11F
→
05/24 12:50, 6年前 , 12F
(1+2e^2)/(1-2e)]^d
05/24 12:50, 12F
→
05/24 12:52, 6年前 , 13F
d>0, 只要 e 夠小 上面這個數字會大於1
05/24 12:52, 13F
→
05/24 12:52, 6年前 , 14F
所以當 n<2m 的時候 會有反例
05/24 12:52, 14F
→
05/24 12:53, 6年前 , 15F
n >= 2m 只要證明 n=2, m=1 就夠了
05/24 12:53, 15F
→
05/24 12:57, 6年前 , 16F
(b/a')^2 < (2b)^2 < (2b)/(2b') < a/b'
05/24 12:57, 16F
→
05/24 12:58, 6年前 , 17F
第一個是a'>1/2, 第三個是b<a
05/24 12:58, 17F
→
05/24 13:00, 6年前 , 18F
第二個是 (2b)(2b') < (b+b')^2 <= 1
05/24 13:00, 18F
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