[其他] 如何用軟體判斷不等式恆真？

看板Math作者 (知其不可奈何而安之若命)時間6年前 (2019/05/23 23:41), 6年前編輯推噓3(3推 0噓 13→)
留言16則, 2人參與, 6年前最新討論串1/5 (看更多)
假設有一組條件：0 < a,b < 1; a < 1 - b; b < a; 0 < m < n; m,n為自然數。 請問有哪套軟體、哪些指令可以確定： b^n (1 - b)^m < a^m (1 - a)^n是否恆成立？ 我試了Mathematica用refine或reduce的指令，都跑不出來true或false， 也試了Maple的Is和Verify指令，也都跑不出來。 不知道是否這些指令其實跑的出來結果，只是我寫錯了？ 還是其實這道不等式，只能扔一定範圍的數字，去驗證是否成立？ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 84.13.86.217 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1558626091.A.126.html
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05/24 00:01, 6年前 , 1F
對數學軟體不熟
05/24 00:01, 1F
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05/24 00:01, 6年前 , 2F
不過設 c=1-b 的話 原式就變成了
05/24 00:01, 2F
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05/24 00:03, 6年前 , 3F
c^m (1-c)^n < a^m (1-a)^n
05/24 00:03, 3F
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05/24 00:07, 6年前 , 4F
由微分可知 x^m (1-x)^n 的極值發生在 m(1-x)-nx=
05/24 00:07, 4F
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05/24 00:07, 6年前 , 5F
0, 即 x=m/(m+n) < 1/2 處, 因此從 0 到 m/(m+n)
05/24 00:07, 5F
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05/24 00:07, 6年前 , 6F
遞增, 之後從 m/(m+n) 遞減
05/24 00:07, 6F
推
05/24 00:09, 6年前 , 7F
由 a<c, 1-c<a 可知 1/2<a<c, 因此 a, c 必在遞減
05/24 00:09, 7F
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05/24 00:09, 6年前 , 8F
區 因此原式為 True
05/24 00:09, 8F
感謝。 想使用數學軟體的理由是：若能一開始就知道某一不等式成立，就能放心去證。 不然的話，若某一不等式實際上不成立，而嘗試證明它，反而又花時間又挫折。 想請教：給定0<a,a',b,b'<1, a+a'<=1, b+b'<=1, b<a, 0<m,n<1, m,n為自然數， 能否證出：b^n*b'^m < a^m*a'^n? 若證不出的話，再加上一項條件：a'>1/2，能否證出？ ※ 編輯: coldeye (84.13.86.217), 05/24/2019 00:39:28
推
05/24 00:48, 6年前 , 9F
要是有這麼方便的軟體就好了…… 一堆分析的不等式
05/24 00:48, 9F
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05/24 00:49, 6年前 , 10F
都可以直接暴力做出來XD
05/24 00:49, 10F
推
05/24 01:02, 6年前 , 11F
其實你可以硬幹monte carlo 跑個10000點大概就能猜
05/24 01:02, 11F
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05/24 01:02, 6年前 , 12F
到
05/24 01:02, 12F
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05/24 01:02, 6年前 , 13F
如果只是想要先行驗證的話
05/24 01:02, 13F
Thanks. 請問D大，我了解1/2<c怎麼來的，但你如何確定1/2<a? ※ 編輯: coldeye (84.13.86.217), 05/24/2019 05:18:11
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05/24 12:04, 6年前 , 14F
啊啊 搞錯了XD
05/24 12:04, 14F
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05/24 12:07, 6年前 , 15F
如果 a <1/2, 則 1/2<=1-a<c
05/24 12:07, 15F
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05/24 12:08, 6年前 , 16F
此時 a^m (1-a)^n > (1-a)^m a^n > c^m (1-c)^n
05/24 12:08, 16F
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