Re: [線代] 如果只有基底的話

看板Math作者Desperato (Farewell)時間7年前 (2019/01/11 19:31)推噓2(2推 0噓 17→)

留言19則, 4人參與討論串2/3 (看更多)

: 假設有一個集合 V 一個體 F : 一個加法運算 +: V x V -> V : 一個係數乘法運算 *: F x V -> V : V 在這兩個運算底下是封閉的 : 考慮 W 是一個 V 的非空子集合 : 繼承以上兩個運算(但不一定封閉) : 定義集合 W 有基底 : 代表存在一個有序集 (w_1, ..., w_n) : 其中 w_i 皆為 W 的元素滿足兩個條件 : (1) 對任意 F 的元素 c_i, d_i滿足 : 若 sum c_i w_i = sum d_i w_i 則 c_i = d_i : (2) 所有 W 的元素 w 都能寫成 sum c_i : 請注意這裡的 sum (暫時) 要照順序加看來只能我自己來想了qw q 總之先上線性空間的10個條件吧 (A0) V is closed under + (M0) V is closed under * (A1) u+(v+w) = (u+v)+w (A2) u+v = v+w (A3) exists 0, v+0=v (A4) for any v, exists -v, v+(-v)=0 (M1) a(bv) = (ab)v (M2) 1v = v (D1) a(u+v) = au+av (D2) (a+b)v = av+bv 以及存在基底 (BS) exists (v_i), for any v, v = sum c_i v_i, uniquely 1. 假設 W 滿足以上全部，除了 (A3) 則根據 (A0), (M0), 有一個元素 z = sum 0 v_i 滿足對任意 v = sum c_i v_i 來說 v + z = sum c_i v_i + sum 0 v_i = sum (c_i v_i + 0 v_i) use (A1), (A2) = sum c_i v_i use (D2) = v 所以 (BS)(A0)(A1)(A2)(M0)(D2) 可以弄出 (A3) 2. (A0)和(M0)姑且好像無法省略畢竟可以假設 V 滿足所有條件，但 W 沒有封閉性這樣的話就會有其他 8 條全對但不封閉的情況不過如果基底的條件改強一點 (BS') exists (v_i) such that f: F^n -> W is a bijection (c_i) sum c_i v_i 差別是原本 f^(-1) 不一定是 onto 那麼假設 W 滿足 (BS') 和另外 8 條給定 v = sum c_i v_i, v' = sum c'_i v_i v + v' is in W use (A1), (A2), (D2) a v is in W use (D1), (M1) 所以 (BS')(A1)(A2)(M1)(D1)(D2) 可以弄出 (A0)(M0) 3. (M2)的情況給定 v = sum c_i v_i 有 1 v = 1 (sum c_i v_i) = sum (1 c_i) v_i use (D1), (M1) = sum c_i v_i = v 所以 1 v = v 4. (A4)的情況給定 v = sum c_i v_i, 令 u = sum (-c_i) v_i 則 v + u = 0 use (A1), (A2), (D2) OK, 所以到目前為止只要有 (BS')(A1)(A2)(M1)(D1)(D2) 就能確定 W 是線性空間了實際上所有條件都是用在 basis 身上的，所以可以改成 (BS-L) exists (v_i) such that f: F_n -> W is a bijection (c_i) -> sum c_i v_i and f is linear (這個條件居然概括全部...) (Thm) If W is a set which satisfies (BS-L), then W is a vector space 嗯，怎麼感覺有寫跟沒寫一樣啊XDD 結論：雖然一般來說，這個定理是先設 W 是 v.s. 再證明它有 basis 但其實反過來好像也行呢。嗯，怎樣都好啦www -- 嗯嗯ow o -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.7.185 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1547206308.A.6AA.html

推

Vulpix

01/11 19:43, 7年前 , 1^F

01/11 19:43, 1^F

→

Vulpix

01/11 19:43, 7年前 , 2^F

01/11 19:43, 2^F

→