[線代] 如果只有基底的話
這是看到隔壁的問題後產生的問題
雖然線性空間一定有個基底
但有基底的東西 有一定要線性空間前提嗎
姑且知道把體 F 換成其他的話 還是可能有的(free module)
不過這邊是想考慮省略更基本的東西
假設有一個集合 V 一個體 F
一個加法運算 +: V x V -> V
一個係數乘法運算 *: F x V -> V
V 在這兩個運算底下是封閉的
考慮 W 是一個 V 的非空子集合
繼承以上兩個運算(但不一定封閉)
定義集合 W 有基底
代表存在一個有序集 (w_1, ..., w_n)
其中 w_i 皆為 W 的元素 滿足兩個條件
(1) 對任意 F 的元素 c_i, d_i滿足
若 sum c_i w_i = sum d_i w_i 則 c_i = d_i
(2) 所有 W 的元素 w 都能寫成 sum c_i
請注意這裡的 sum (暫時) 要照順序加
想請問至少需要增加哪些條件給 W 和 V
才會讓 W 必然是個線性空間
也就是「殘缺條件」+「有基底」=「線性空間」
想問到底最多可以殘到哪裡(或是一點都不能殘)
原本的線性空間 加封閉性的話 有10個條件啊
如果覺得基底的定義不好
也可以換一個定義 也許會有其他結果
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