Re: [機率] 換還是不換問題請教

看板Math作者recorriendo (孟新)時間7年前 (2018/06/28 05:29)推噓3(3推 0噓 5→)

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來回一篇好了要點其實前面大家的回文或推文都已經有提到這裡只是更嚴謹地重述一次沿用前面回文的記號以 p(X) 表示兩個信封中較小值為 X (另一個信封為 2X) 的先驗機率 PART A) 假設打開一個信封看到裡面的數字是 x 在此條件下已知兩個信封裡的數字只有 {x, 2x}, {x/2, x} 兩種可能由貝氏定理可簡單算出兩個情況的條件機率分別是 p(x)/[p(x)+p(x/2)] 和 p(x/2)/[p(x)+p(x/2)] 大小取決於 p(x) 和 p(x/2) 的比值因此選擇交換的所得也取決於這兩個先驗機率的比值如果我們認定先驗上沒有理由偏好兩種情況之一那麼就是假定兩者比值為1 這樣就會算出交換後的期望值為 1.25x > x 就是原PO原來問的解答 PART B) 令人覺得弔詭的部分我認為重新表述如下更清楚: 由 PART A 的結論我們似乎得到如下諸命題 (無限多個命題) (命題1) 若打開一個信封看到 1，則選擇交換所得期望值大於 0 (命題2) 若打開一個信封看到 2，則選擇交換所得期望值大於 0 ... (命題x) 若打開一個信封看到 x，則選擇交換所得期望值大於 0 ... 如果這些命題全部為真那麼根據 law of total expectation 我們似乎得到 "選擇交換之所得必然大於0 (即使未打開信封)" 的結論! 顯然不合理 (未打開信封時兩個信封裡的數字期望值應該相等) 這其中的魔鬼就在於這些命題都有前提在 PART A 中我們假設先驗機率 p(x) = p(x/2) 才有期望值為 1.25x 的結論然而如果 X 取值非有界的話不會存在先驗機率 p(X) 使得 p(X) = const. for all X 因此 PART A 的結論不可能對無限多個 X 都真不過，麻煩的是，的確可以找到 well-defined 的先驗機率 p(X) 使得上述無限多個命題全部為真也就是說打開一個信封無論看到任何數字都是選擇交換有利那麼沒打開時要不要選擇交換? 這是還有爭議的部分 https://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem#Bayesian_resolutions 這一小節後半部有更詳細討論這個情況 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 217.117.224.48 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1530134952.A.63F.html ※ 編輯: recorriendo (217.117.224.48), 06/28/2018 05:34:27 ※ 編輯: recorriendo (217.117.224.48), 06/28/2018 05:52:03 ※ 編輯: recorriendo (217.117.224.48), 06/28/2018 06:43:15

推

cutekid

06/28 13:31, 7年前 , 1^F

06/28 13:31, 1^F

→

rax921930

06/28 20:51, 7年前 , 2^F

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recorriendo

06/29 01:23, 7年前 , 3^F

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