Re: [其他] ZF集合論的正則公設 2000p
※ 引述《LPH66 (J∪$т М㎝iκä)》之銘言：
: 標題: Re: [其他] ZF集合論的正則公設 2000p
: 時間: Thu Apr 19 22:05:39 2018
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: : 推 LPH66 : "ZF 的所有東西都是集合" 這是最大最大的大前提 04/19 13:51
: : → LPH66 : 或者應該說 ZF 所討論的東西就只是集合 04/19 13:52
: : → LPH66 : 那不管是蘋果香蕉還是 C[0,1] sinx 都要先給出定義 04/19 13:56
: : → LPH66 : 至於 (d), 正則公理其實就是把一些不太像 "ZF 集合" 04/19 14:02
: : → LPH66 : 的東西給排除在討論範圍之外 04/19 14:02
: : → LPH66 : 關於這些東西可以去看 NBG 集合論, 那邊有個名詞叫 04/19 14:03
: : → LPH66 : "類 (class)" 指稱它討論的東西 04/19 14:05
: : → LPH66 : 這種不像集合的東西在那裡叫 "真類 (proper class)" 04/19 14:06
: : 所以照邏輯來說 C[0,1]在沒有定義成集合的集合(也就是說 sinx只是元素) 的狀況下
: : 不能說C[0,1]會有ZF滿足那九條公設 因為C[0,1]不是ZF集合？
: 其實這有點微妙
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: 集合論想要做的事情之一就是為數學打底
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: 集合論的基本語言只有"集合"和集合之間的"屬於"關係兩個詞
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: 我們可以從這兩個單純的概念以及命題邏輯把所有數學概念給建構出來
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: 例如你所查到的 0 := {}, 1 := {0}, 2 := {0,1} 等等
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: 這一串是非負整數的一種定義 (叫做馮紐曼序數定義)
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: 由於它是一組滿足皮亞諾算術公理的定義
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: 所以我們可以從這裡利用皮亞諾公理定義運算的方式定義加、乘、等等運算
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: 有了這些運算我們可以往上繼續定義出有理數、實數
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: 沿著這樣的路線繼續類推下去
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: 我們就能得到例如 C[0,1] 這個東西的集合論定義
這麼說來 比如 2是實數中的一個元素 vs 2={0,1}他是兩個元素所成的集合
不管怎麼看都沒差，本來在嚴格構造有理數、實數也都是以集合代表元素
所以以sinx€C[0,1]，我們要把C[0,1]當成是ZF集合也可以
單純把sinx 看成是 sinx = {}_s ，反正就是某個集合
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: 雖然它的描述可能會用到許多中間過程中我們定義的概念或符號
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: 但一路展開下去它最終其實仍然是一個集合論所討論的集合
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: 所以要問 C[0,1] 是不是 ZF 集合? 在有這中間這些定義之下它確實是
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: 只是大概很難寫得出詳細是個怎樣的集合就是了
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: ZF 的出現其實還是跟羅素悖論有關
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: 詳情就回去讀你找到的資料
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: 總之 ZF 這樣定義就是為了把羅素悖論裡的那玩意以及和它類似的東西劃條線隔開
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: (用的就是你在問的正則公理;
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: 我推文說的"不像 ZF 集合的東西"就是指這些被隔開的東西)
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: 這是因為不考慮那些奇怪東西並不會對上面已經蓋好的這一大串定義鏈造成問題
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: (有人說羅素悖論造成第三次數學危機
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: 講的就是最早的樸素集合論會有羅素悖論這種鬼東西
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: 使得試著把所有數學建構在集合論上的嘗試出現了根本性的問題)
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: 那當然也就有想要正面解決這問題的嘗試, 其中之一就是我提的 NBG 公理體系
雖然我也有查到有人說是regularity解決了羅素悖論
但是wiki寫regularity(foundation)還不夠，而是specification解決的
看他的陳述我覺得很合理，在specification他大概說：
古老時代在定義集合時 S:={x│x has property P} 就自動生成這集合
但是會有羅素悖論產生
因此要強制加入"pre-existing set M "
也就是說，specification axiom表示：
若M是一個集合
則{x€M│x has property P} 必定存在
所以羅素悖論中的 R:= {x│x not in x} 根本不是集合
(假設他是集合，所以 R in R <=> R not in R，矛盾！ )
若事先給一個pre-existing set M
則 S:= {x€M │x not in x} 必定存在 by specification axiom
然後就會推得 S not in S & S not in M
(這段是某個網站寫的，我覺得很合理才去wiki翻ZF公設的)
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若以上沒錯的話，最後想請教一個問題，也是我為何發文問的原因
給一個函數f：A→B，值域 V:= {f(x)│x€A}
這V再熟悉不過了，不過回來公設看，沒人告訴你 V 存在阿...
(假設A ={a_1,...,a_n}有限，我還可以直接定義V:={f(a_1),...,f(a_n)})
而正好看到ZF公設，所以改定義 V:= {y€B│存在x€A使得f(x)=y}
那這V存在by specification axiom，因為B是pre-existing set
正當我放心的時候，閒來無事去看其他條公設，發現regularity axiom竟然把元素跟集合
做交集，我才去google，才得出" ZF系統全部都是集合 "
因此才在上篇總結問說 "並非所有集合都是ZF集合？"
所以，我的問題是：
在嚴格的公設以及邏輯下，是否要強制要求上面的A,B是ZF集合，我才能說
V:= {y€B│存在x€A使得f(x)=y} 存在 by specification
若否，V有沒有存在都不一定呢!?
不好意思感覺有點在吹毛求疵，我本來對公設沒興趣也沒研究XDD
但是被羅素悖論嚇到後，讓我花不少時間去檢視以前我認為理所當然的集合寫法
是否真的存在 ( 符合某公設確保它存在才算存在 )
事先感謝您的回答!!
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