Re: [機統] 基於某分布的期望值"定義"(1000p)

看板Math作者yhliu (老怪物)時間8年前 (2018/01/23 13:01)推噓1(1推 0噓 9→)

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※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言： : 想請問一下 : 一群資料{x_i}, 分布是p(x), g為定義在那群樣本空間上的實函數 : 那 E_{x~p(x)}[g(x)]的正式定義為何？如你所說, 若 X 是定義在機率空間(Ω,Σ,P)上之一實數值隨機變數, 那麼 X 之期望值的正式定義就是 E[X] := ∫_Ω X(w)dP(w) 若 X 有機率分布函數 F, 那麼, 由變數轉換定理,就可以把 X 的期望值寫成 E[X] = ∫_R x dF(x) 而當 F 對數線 R 上之某一σ-finite 測度 μ 是絕對連續, 也就是說 F 對 μ 存在一個 density function 時, 竟可以寫 E[X] = ∫_R x f(x) dμ 有兩個特例, 一是 μ 為 Lebesgue measure, 則 E[X] 存在時, 可以表示為 Riemann 積分 E[X] = ∫_R x f(x) dx 二是 μ 為 counting measure 而 F(x) 僅在可數個點有跳躍型不連續點且其總和跳躍值為 1, 即 X 為 "離散型" 而有離散型 p.d.f.(或稱 p.m.f.) f(x),則 E[X] 可表為 E[X] = Σ x_i f(x_i) 其中 Σf(x_i) = 1. 在初級課程, 後兩式 (黎曼積分式及加總式) 就被當成是期望值的定義, 設 Y = g(X) 是另一隨機變數, 則其期望值可以定義為 E[g(X)] = ∫_Ω g(X(ω))dP(ω) 也可寫成 E[Y] = ∫_Ω Y(ω) dP(ω) 由 X 之分布函數 F, 可導出 Y 的分布函數 H, H(y) = P[Y≦y] = P[g(X)≦y] 從而 Y 之期望值可以寫成 E[Y] = ∫_R y dH(y) 也可以表示成 E[g(X)] = ∫_R g(x) dF(x) 有 density function 時也類似, 可以用 Y 之 density 來計算, 也可以直接用 X 之 density 來計算 g(X) 的期望值. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.223.201.101 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1516683677.A.DA5.html

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yhliu

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yhliu

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yhliu

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