[機統] 基於某分布的期望值"定義"(1000p)
想請問一下
一群資料{x_i}, 分布是p(x), g為定義在那群樣本空間上的實函數
那 E_{x~p(x)}[g(x)]的正式定義為何？
以下是歸納過程:
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令(Ω,Σ,P)為一樣本空間, X：Ω→R為隨機變數
則 E[X] := ∫ X(w)dP(w)
Ω
然後實變定理說可以將之轉成Riemann-Stieltjes integral
∞
= ∫ x dF(x) , where F(x) = P({w€Ω：X(w)≦x}) 簡寫為P(X≦x)
-∞
之後根據Radon-Nikodym定理知道存在density function f(x)
∞
= ∫ x*f(x) dx
-∞
這一切都很合理
但是 這篇GAN創始者的paper中的 E_{x~p(x)}[g(x)] https://arxiv.org/abs/1406.2661
在證明時直接寫
E_{x~p(x)}[g(x)] = ∫ p(x)*g(x) dx
x
我做了以下嘗試還是跟原本定義(稱作(*))兜不起來：
(1) x照paper應該是原始資料，所以應該是(*)的w
但是w~p(w)代表w符合某個分布, 但是(*)只有機率函數F(x)與機率密度函數f(x)
失敗
(2) x是實數，p(x)就是(*)中的f(x)，但是(*)的E[X]寫成最後形式後並不會有X(x)
而且X裡面擺的是樣本吧
(3) x是多變數....算了又不合
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總之問題總結為：
E_{x~p(x)}[g(x)] = ∫ p(x)*g(x) dx ----(●)
x
(a) why??
(b) x？ (*)中的w？
(c) 以後看到x~p(x), p(x)是指機率函數還是機率密度函數？
(d) 承(c), 不論是哪一個, 照(*)的setting, 此函數的domain應該是實數吧?
但是在(●)又很像w,但是又沒有p(w)...
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第一個完整說明的板友1000p 感謝幫忙~
猜來猜去花好多時間QQ
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沒有耶
令(Ω,Σ,P)為一樣本空間, X：Ω→R為隨機變數
則 E[X] := ∫ X(w)dP(w)
Ω
如此一來這個E[X]就是well-defined阿
簡單來說
E_{x~p(x)}[g(x)] = ∫ p(x)*g(x) dx ----(●)
x
這個式子p是啥 and 如何證
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x是實數還是樣本空間的w??
※ 編輯: znmkhxrw (220.128.169.29), 01/23/2018 13:51:48
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