[中學] 證明若f(a)f(b) = f(a+b) 則f(x)為指數函數

看板Math作者 (支持貓咪統治世界)時間8年前 (2018/01/17 23:59), 編輯推噓8(8推 0噓 18→)
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在網路上看到一題: 若對於任何實數a,b皆有: f(a)f(b) = f(a+b) ，請證明: f(x)必為指數函數。 反過來想十分顯然，但若是這樣真能證明嗎? 百思不得其解 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 122.116.96.30 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1516204761.A.2DB.html
推
01/18 00:02, 8年前 , 1F
証明非Q則非P亦同。
01/18 00:02, 1F
推
01/18 00:05, 8年前 , 2F
還可能是 0 函數
01/18 00:05, 2F
→
01/18 00:06, 8年前 , 3F
首先 f(0) = 0 或 1. 是 0 就是 0 函數.
01/18 00:06, 3F
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01/18 00:07, 8年前 , 4F
是 1 的話有個暴力作法: 首先驗證有理數 a 都滿足
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01/18 00:07, 8年前 , 5F
f(a) = f(1)^a, 接著說明函數是連續的即可
01/18 00:07, 5F
推
01/18 00:08, 8年前 , 6F
常數函數也行吧
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01/18 00:09, 8年前 , 7F
如果是指數函數那前面成立沒錯 但是有前面的敘述不
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01/18 00:09, 8年前 , 8F
代表是指數函數
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01/18 00:09, 8年前 , 9F
不過連續似乎不是很顯然@@
01/18 00:09, 9F
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01/18 00:09, 8年前 , 10F
抱歉常數函數不行 茫了
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01/18 00:10, 8年前 , 11F
0^0不是undefined 嗎
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01/18 00:11, 8年前 , 12F
命題是錯的 少條件f(x)連續實函數且恆非0
01/18 00:11, 12F
推
01/18 00:12, 8年前 , 13F
沒有 0^0 的問題啊
01/18 00:12, 13F
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01/18 00:12, 8年前 , 14F
我感覺也是錯的, 應該可以造出反例. 在無理數的部分
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01/18 00:13, 8年前 , 15F
啊 看錯抱歉
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01/18 00:13, 8年前 , 16F
可以定義出另一個指數的次方
01/18 00:13, 16F
推
01/18 01:03, 8年前 , 17F
應該不能到全部無理數 (有根號2這種例子在)
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01/18 01:03, 8年前 , 18F
但是縮到超越數說不定可行?
01/18 01:03, 18F
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01/18 01:04, 8年前 , 19F
咦我搞錯了...無理數應該可以
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推
01/18 01:07, 8年前 , 20F
連續性並不顯然，那是因為真的可以不連續。所以f(x)
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01/18 01:10, 8年前 , 21F
不見得是指數函數。這問題本質跟柯西方程一樣，將實
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01/18 01:11, 8年前 , 22F
數系視為有理數系的向量空間，選擇一個適當基底，那
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01/18 01:12, 8年前 , 23F
f(x)可由f在基底上的值決定，而在哪個基底上選什麼
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01/18 01:12, 8年前 , 24F
值是可以隨便指定的。
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推
01/18 03:25, 8年前 , 25F
f不連續就無法保證;f連續非0函數就保證f(x)=f(1)^x.
01/18 03:25, 25F
推
01/18 19:07, 8年前 , 26F
要連續才可以，不是線性那個問題
01/18 19:07, 26F
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