Re: [中學] 證明若f(a)f(b) = f(a+b) 則f(x)為指數函數

看板Math作者Lemur (Qoo)時間6年前 (2018/01/18 02:54)推噓0(0推 0噓 5→)

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如果f非零函數, f嚴格遞增/遞減, 那用中學的夾擊原理試看看囉. 1. 求 f(0): f(0) = f(0+0) = f(0)f(0). 得 f(0)= 0 或 1. 若 f(0)=0, 則 f(a)=f(a+0) = f(a)f(0) = f(a)*0 = 0 為零函數, 與新題意不合. 故以下均假設 f(0)=1. 2. x為整數a, 由 f(1)= 正常數(簡寫為u) 求f(x)通式, 可得f(x)為正指數函數: f(0+1)= f(0)f(1) =u, f(1+1)= f(1)f(1) =u^2,..., 得f(a)=u^a. f(-1)= f(-1+1) / f(1) =u^(-1), f(-2)= f(-2+1) / f(1)= u^(-2),..., 得f(a)=u^a. 3. x 為有理數 a/b. 考慮分母b=2,3,4,..., 仍可得f(x)為正指數函數: b=2, f(a)=f(a/2+a/2)=f(a/2)f(a/2), 得f(a/2)= f(a)^(1/2) =u^(a/2). b=3, f(a)=f(a/3 + a/3)f(a/3)=f(a/3)^3, 得f(a/3)=u^(a/3). 以此類推, 可得對任意有理數 a/b, f(a/b)=u^(a/b). 4. x 為實數, 由有理數雙邊逼近法, 有: (在此簡寫最小上界=M,最大下界m.) 4-1. x = lim q_n = 有理數數列 q_1 < q_2 <...< q_n <... 之M, 則對所有n, u^(q_n) = f(q_n) 由f嚴格遞增/減, 必恆>f(x)或恆<f(x), 得 u^x 亦為f(x)之M或m. 4-2. 同理 x=lim q_n = 另一組 q_1 > q_2 >...> q_n >... 之m, 則對所有n, u^(q_n) = f(q_n) 必恆<f(x)或恆>f(x), 得 u^x 亦為f(x)之m或M. 故由夾擊原理, m=M=f(x)=u^x. 以中學生的題目而言，我想只是漏掉了遞增遞減，用連續性解就更超出範圍了． ※ 引述《arthurduh1 (arthurduh1)》之銘言： ※ 引述《cat91 (支持貓咪統治世界)》之銘言： : 在網路上看到一題: : 若對於任何實數a,b皆有: f(a)f(b) = f(a+b) ，請證明: f(x)必為指數函數。 : 反過來想十分顯然，但若是這樣真能證明嗎? : 百思不得其解來個非 0 函數的反例吧~ 由選擇公理, R/Q as vector spaces 有個基底 {α_i : i 屬於某個 index set}. 特別挑一個 α_i 出來, 把它叫做 β. 對於任一實數 a, 若 a 在上述基底中, 其 β 的係數為 k, 則令 f(a) = 2^k 3^{a-kβ}. 此 f 會滿足條件. (由線性代數) ----- 很暴力的作法... 不曉得能否繞過選擇公理@@ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.254.218.129 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1516209050.A.68C.html ※ 編輯: arthurduh1 (111.254.218.129), 01/18/2018 01:31:31

推

Lemur

01/18 02:07,

01/18 02:07

-- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.185.67.148 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1516215243.A.ADB.html

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Desperato

01/18 08:41, 6年前 , 1^F

01/18 08:41, 1^F

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Desperato

01/18 08:42, 6年前 , 2^F