Re: [中學] 證明若f(a)f(b) = f(a+b) 則f(x)為指數函數

看板Math作者 (arthurduh1)時間8年前 (2018/01/18 01:10), 8年前編輯推噓7(7推 0噓 37→)
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※ 引述《cat91 (支持貓咪統治世界)》之銘言： : 在網路上看到一題: : 若對於任何實數a,b皆有: f(a)f(b) = f(a+b) ，請證明: f(x)必為指數函數。 : 反過來想十分顯然，但若是這樣真能證明嗎? : 百思不得其解 來個非 0 函數的反例吧~ 由選擇公理, R/Q as vector spaces 有個基底 {α_i : i 屬於某個 index set}. 特別挑一個 α_i 出來, 把它叫做 β. 對於任一實數 a, 若 a 用上述基底表示後, 其 β 的係數為 k, 則令 f(a) = 2^k 4^{a-kβ}. 此 f 會滿足條件. (由線性代數中, 基底表示的存在、唯一性.) 而 f 為指數函數的唯一可能是 f(a) = 4^{k/2} 4^{a-kβ} = 4^{a-kβ+k/2} 其指數部分剛好為 a 的倍數. 這代表 β = 1/2. 但 1/2 為有理數, 不可能為基底之一員. 故此可能性被排除. ----- 很暴力的作法... 不曉得能否繞過選擇公理@@ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.254.218.129 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1516209050.A.68C.html
推
01/18 02:07, 8年前 , 1F
這f(a)是指數函數吧
01/18 02:07, 1F
基本上不太會是, 我修正並補充說明一下. 原來版本 β 的選取會有限制. ※ 編輯: arthurduh1 (111.254.218.129), 01/18/2018 02:37:30
推
01/18 03:15, 8年前 , 2F
f(a) = 4^{k(1/2-β)} 4^a, a=0代進去,得係數必為1
01/18 03:15, 2F
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01/18 03:29, 8年前 , 3F
a=0 時 k=0 哦
01/18 03:29, 3F
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01/18 03:29, 8年前 , 4F
你的係數是指什麼?
01/18 03:29, 4F
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01/18 03:34, 8年前 , 5F
k(a)不連續那就ok;否則4^{k(1/2-β)}這係數還是指數
01/18 03:34, 5F
推
01/18 03:37, 8年前 , 6F
我的理解是:β是常數無理數,k(a)是實函數滿足題意.
01/18 03:37, 6F
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01/18 03:39, 8年前 , 7F
k(a) 的確是連續函數唷, 但總體還是並非指數函數啊
01/18 03:39, 7F
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01/18 03:41, 8年前 , 8F
你想得太複雜了, 指數函數就只是 f(x) = r^x for so
01/18 03:41, 8F
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01/18 03:41, 8年前 , 9F
me constant r
01/18 03:41, 9F
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01/18 03:50, 8年前 , 10F
啊 k(a) 不連續 這樣你沒疑問了吧
01/18 03:50, 10F
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01/18 03:54, 8年前 , 11F
但就算連續也不能直接說那是指數函數就是了, 要 k
01/18 03:54, 11F
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01/18 03:54, 8年前 , 12F
是 a 的線性函數才會是
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01/18 03:56, 8年前 , 13F
會誤稱連續是因為我把 R 看成是 Q-vector space 後
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01/18 03:56, 8年前 , 14F
用上面的拓樸了
01/18 03:56, 14F
推
01/18 04:33, 8年前 , 15F
f(a)f(b) = 2^k_a 4^{a-k_aβ} 2^k_b 4^{b-k_bβ}
01/18 04:33, 15F
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01/18 04:36, 8年前 , 16F
f(a+b)=2^k_a 4^{a-k_aβ} + 2^k_b 4^{b-k_bβ}
01/18 04:36, 16F
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01/18 04:38, 8年前 , 17F
上兩式對所有a,k_a,b,k_b相等又不指數,那k必不連續.
01/18 04:38, 17F
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01/18 04:41, 8年前 , 18F
我f(a+b)錯了 應=2^(k_a+k_b) 4^{a+b-(k_a+k_b)β}
01/18 04:41, 18F
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01/18 04:44, 8年前 , 19F
是恆等式沒錯.但a->b時,k_a不必->k_b,此構造不連續.
01/18 04:44, 19F
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01/18 04:47, 8年前 , 20F
嗯 大大構造了不連續函數f(a+b)=f(a)f(b)的一組例子
01/18 04:47, 20F
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01/18 08:31, 8年前 , 21F
個人認為繞不過
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01/18 08:32, 8年前 , 22F
這題等同於問 x+y 和 cy 能不能簡化成一個
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01/18 11:55, 8年前 , 23F
我直覺也是繞不過
01/18 11:55, 23F
推
01/18 14:33, 8年前 , 24F
繞不過的，Hamel basis的存在性與c_1集合的選擇公理
01/18 14:33, 24F
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01/18 14:34, 8年前 , 25F
等價。c_1集合是在說跟R一樣大的集合。
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01/18 15:12, 8年前 , 26F
我知道, 但也許可以不用 Hamel basis 造這類函數
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01/18 15:15, 8年前 , 27F
直覺是一定要用, 但就缺個嚴格的證明
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01/18 15:18, 8年前 , 28F
缺的證明應該是: 若存在一個這種函數, 就能由其找出
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01/18 15:19, 8年前 , 29F
一組 Hamel basis?
01/18 15:19, 29F
推
01/18 15:27, 8年前 , 30F
所以只要能決定每個實數的β分量有多大就好？可是這
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01/18 15:28, 8年前 , 31F
應該與找到一組basis是同一個問題……
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01/18 15:29, 8年前 , 32F
是說我查了一下, 那兩者好像也還沒被證明是等價的?
01/18 15:29, 32F
推
01/19 01:45, 8年前 , 33F
我也查了，好像是。不過我沒有讀很多這方面的東西，
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01/19 01:47, 8年前 , 34F
不過這題真的需要的是：A Q-linear map ω:R→Q,
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01/19 01:48, 8年前 , 35F
with ω(β)=1 for an irrational β，有這樣一個ω
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01/19 01:49, 8年前 , 36F
的話就足夠了，這就可以用來算β分量上的係數。
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01/19 18:58, 8年前 , 37F
好像怪怪的, 應該是除了 β 之外的基底元素都打到 1
01/19 18:58, 37F
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01/19 18:58, 8年前 , 38F
才對?
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01/19 18:59, 8年前 , 39F
根據 https://goo.gl/33bhpg 應該是沒強到等價於
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01/19 19:02, 8年前 , 40F
C_1 的 AC. 我也看過有網站寫說, 存在其他模型使得
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01/19 19:02, 8年前 , 41F
這種函數存在.
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01/19 19:04, 8年前 , 42F
不過都知道 AC of C1 → Hammel basis 存在性 →
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01/19 19:05, 8年前 , 43F
這種函數存在. 且第一個蘊含關係不能反向, 那本問題
01/19 19:05, 43F
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01/19 19:06, 8年前 , 44F
當然就只可能更弱了
01/19 19:06, 44F
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