Re: [分析] Q is not complete

看板Math作者 (312)時間9年前 (2016/08/18 23:06), 9年前編輯推噓9(9推 0噓 34→)
留言43則, 6人參與, 最新討論串3/4 (看更多)
非構造性的證明 令A是所有這種有理數列的集合 0.a1a2a3a4....... (上面這個有理數列是指 0.a1, 0.a1a2, 0.a1a2a3, .....) 十進位的小數展式 其中an是0到8之間的正整數 顯然它們都是柯西數列 但是它們並非都收斂 (in Q) 若A中每個元素都收斂到Q 則會存在一個函數 f:A→Q f(a)是a的收斂值 f 是 injective 所以 #A≦#Q (因為不同的A中的元素,若收斂 必收斂到不同的有理數) 但是 #A = 9^aleph0 > #Q 改這樣應該比較順 沒辦法我中文不好 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.227.242.86 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1471532780.A.51F.html
推
08/18 23:11, , 1F
喔喔 用 R uncountable 的證法!
08/18 23:11, 1F
推
08/18 23:13, , 2F
推個
08/18 23:13, 2F
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08/18 23:15, , 3F
實數的小數表示法是個大哉問, 背後牽扯很多東西要證
08/18 23:15, 3F
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08/18 23:15, , 4F
不知道這個追根究柢上去會不會用到所謂的"很多東西"
08/18 23:15, 4F
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08/18 23:16, , 5F
因為我念書時小數表示法那裡跳過了
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08/18 23:19, , 6F
看起來超威的XD 是說為什麼f是injective?
08/18 23:19, 6F
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08/18 23:20, , 7F
這裡沒有用到實數的小數表示法
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只有有限小數而已
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08/18 23:22, , 9F
inj:"若收斂 必收斂到不同的有理數" 找第一位不同的
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回Desperato大:因為不同的A中的元素,若收斂 必收斂
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我這句應該放到f 是 injective之後 (中文太差 QQ)
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推
08/18 23:24, , 12F
嚴格證的話要先找出最早的相異 a_i，然後說兩序列
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08/18 23:25, , 13F
的有理數之間的差值有非零下界
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08/18 23:25, , 14F
我在想的是 {1, 1.4, 1.41...} 和 {2, 1.4, 1.41...
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的差別
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※ 編輯: ERT312 (61.227.242.86), 08/18/2016 23:28:16
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08/18 23:27, , 16F
最早相異那幾句還是看不懂
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08/18 23:27, , 17F
這裡的數列不包含 2, 1.4, 1.41 這種
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08/18 23:27, , 18F
這不是像構造實數那樣取任意柯西序列
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08/18 23:28, , 19F
都是只取同前綴的數列 (a1, a1a2, a1a2a3, ...)
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噢 我看懂前幾行在說什麼了 感謝XD
08/18 23:28, 20F
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嚴格證的話要補上一些細節 不過這個證明其實沒有用
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08/18 23:31, , 22F
R
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08/18 23:31, , 23F
到 R
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推
08/18 23:35, , 24F
這篇方法抽象化後是不是就變成 perfect set
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必定是 uncountable ?
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08/18 23:37, , 26F
這個證明改一改 好像可以變成從Q創造R的證明
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08/18 23:38, , 27F
就是證明所有無限小數的集合就是R
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08/18 23:38, , 28F
是證明所有無限小數的集合就是R
08/18 23:38, 28F
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08/18 23:39, , 29F
那也要那個perfect set先有個countable dense subse
08/18 23:39, 29F
推
08/18 23:43, , 30F
Q dense呀 我是想繞過小數表示
08/18 23:43, 30F
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08/18 23:53, , 31F
查了一下rudin perfect set會uncountable的的前提就
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08/18 23:53, , 32F
^k耶
08/18 23:53, 32F
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08/18 23:54, , 33F
就是R^k 有比較弱化的前提嗎
08/18 23:54, 33F
推
08/19 00:11, , 34F
在 complete space 裡就會 uncountable
08/19 00:11, 34F
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08/19 10:16, , 35F
可是證complete space的時候就等於證R了吧
08/19 10:16, 35F
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08/19 10:17, , 36F
也好
08/19 10:17, 36F
推
08/19 22:23, , 37F
complete 是條件。 完整地說: 假設Q是complete,
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08/19 22:23, , 38F
那 Q 就是自己裡面的 perfect set。然而 perfect
08/19 22:23, 38F
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08/19 22:24, , 39F
set in complete space 的話大小 uncountable
08/19 22:24, 39F
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08/19 22:24, , 40F
因此矛盾。
08/19 22:24, 40F
推
08/19 23:03, , 41F
原來是這樣 推
08/19 23:03, 41F
推
08/19 23:07, , 42F
ar大這方法好快 推推
08/19 23:07, 42F
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08/20 00:24, , 43F
推推
08/20 00:24, 43F
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