Re: [分析] Q is not complete

看板Math作者owo0098 (天津一)時間9年前 (2016/08/25 08:12)推噓1(1推 0噓 8→)

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最近看e^2是無理數的證明時回去翻了下e無理數的證明，發現剛好可以當個範例 ***參考至自Rudin的小紅書*** ***這裡假設R已經被建構好了，例如用Dedekind cut*** ***e定義為sigma 1/k! k從0到正無窮大*** ***e is well defined*** ***2<e<3*** 證明有兩個要點: 1.e無理數(有個回文說很困難XD) 2.證明造的有理數數列(部分和)是科西數列，並收斂證: 記a_n=sigma 1/k! k從0到n，n>=0 1.(反證法)假設e=p/q 因e不是整數故q>=2 有q!e=q!(sigma 1/k! k從0到q+sigma 1/k! k從q+1到正無窮大) =一個整數+1/(q+1)+1/(q+1)(q+2)+1/(q+1)(q+2)(q+3)+... +號右邊的東西<=1/(q+1)+1/(q+1)(q+1)+1/(q+1)(q+1)(q+1)+... =1/q<1 但q!e是整數，從整數=非整數得到矛盾 2.設n>=m，有a_n-a_m=sigma 1/k! k從m+1到n =1/(m+1)! * (1+1/(m+2)+...+1/(m+2)*...*n) <=1/(m+1)! * (1+1/2+ ...+1/2 * ...*(n-m)) <=1/(m+1)! * (e-1) 故a_n是科西數列，歛性就不證了證畢 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 129.104.247.2 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1472083975.A.9A7.html ※ 編輯: owo0098 (129.104.247.2), 08/25/2016 08:13:37 ※ 編輯: owo0098 (129.104.247.2), 08/25/2016 08:14:40 ※ 編輯: owo0098 (129.104.247.2), 08/25/2016 08:15:58

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Desperato

08/25 10:26, , 1^F

08/25 10:26, 1^F

你有一張好陌生的臉(?

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Desperato

08/25 10:27, , 2^F

08/25 10:27, 2^F

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Desperato

08/25 10:27, , 3^F