[微積] e的極限證明題

看板Math作者時間9年前 (2016/05/15 07:02), 編輯推噓1(1推 0噓 7→)
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證明 lim(n->oo) (1 - 1/n)^n = e^-1 Hint:利用二項式定理說明 lim(n->oo) (1 - 1/n^2)^n = 1 書上定義 e = lim(n->oo) (1 + 1/n)^n， 剛開始無任何高等方法可用。 -- 當思緒釐清 才發現當時的自己 真是 傻的可以...... -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 118.171.169.93 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1463266949.A.4EF.html
推
05/15 10:29, , 1F
1+C(n,1)(-1/n^2)+C(n,2)(-1/n^2)^2+...=1-(1/n)+(n
05/15 10:29, 1F
→
05/15 10:33, , 2F
-1)/(2n^3)+...=1-(1/n)+[(1/n^2)-(1/n^3)]/2-...
05/15 10:33, 2F
→
05/15 10:34, , 3F
照提示可知為1後,[lim(n->oo)(1 - 1/n)]*e=1,lim(n-
05/15 10:34, 3F
→
05/15 10:36, , 4F
>oo) (1- 1/n)^n=e^(-1),即為所證.
05/15 10:36, 4F
→
05/15 10:38, , 5F
會給提示是在於求出1之後,將之"因式分解"可分拆極限
05/15 10:38, 5F
→
05/16 19:41, , 6F
(1-1/n^2) = (1+1/n)^n (1-1/n)^n
05/16 19:41, 6F
→
05/16 19:42, , 7F
如能證明 (1-1/n)^n 之極限存在, 及 (1-1/n^2)^n 之
05/16 19:42, 7F
→
05/16 19:43, , 8F
極限為 1, 即證明了 (1-1/n)^n 之極限為 1/e.
05/16 19:43, 8F
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