Re: [中學] 三角函數極值
※ 引述《loveevol (loveevol)》之銘言：
: 請問一下三角形ABC中, sinA+sinB+sinC最大值為?
: 答案是[3(3)^(1/2)]/2
http://gogeometry.blogspot.tw/2008/07/elearn-geometry-problem-138-nagels.html
看最後回應的"形式1"
可知當O與H互為"等角共軛點"
即"角HAB=角CAO=(pi/2)-B"
於是乎
在三角形OAH中
OH^2=R^2+HA^2-2R*HAcos[A-(pi-2B)]
=R^2+(2RcosA)^2+2R^2[2cos(A+2B)cosA]
=R^2+(2R)^2(cos^2A)+2R^2(cos2B+cos2C)
=R^2+(4R^2)(1-sin^2A)+2R^2[2-2(sin^2B+sin^2C)]
=9R^2-4R^2(sin^2A+sin^2B+sin^2C)
=9R^2-a^2-b^2-c^2...Law of sines
然後
求得不等式"a^2+b^2+c^2 <= 9R^2" (與"歐拉不等式"類似)
最後再用科西得到
27R^2 >= (1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2) <= (a+b+c)^2
a+b+c <= 3(sqrt3)R
亦即
sinA+sinB+sinC <= (3/2)(sqrt3)
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