Re: [複變] 全純函數的平方是線性必常數

看板Math作者 (Sebastian)時間9年前 (2016/04/18 22:44), 編輯推噓2(2推 0噓 12→)
留言14則, 2人參與, 最新討論串2/3 (看更多)
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言： : 做題目時卡在最後一個關鍵 99%是對的 : 可是證好久都證不出來: : if f is entire function and f^2 = az+b : then a=0 : 這件事情應該是對的吧，可是用冪級數展開會出現一堆係數打架比不出什麼結果 : 嘗試微分後發現f*f’=nonzero constant 之後也找不到任何使微分項為0的關鍵 : 謝謝解惑! 也可以直接算冪級數展開 但要分兩個case i) b=0 f^2 = az，這可以直接算出 a=0 ii) b!=0 f^2 = az+b => f = b^0.5 * [ 1 + (a/b)z ]^0.5 b^0.5 可以有兩種選擇，對應到兩個 f，很合理 [ 1 + (a/b)z ]^0.5 的展開可以用你的 a_n，也可以用二項式展開 （因為Laurent expansion是唯一的，所以都一樣） 然後算 limsup|a_n| = |a/b| 這是收斂半徑(\inf)的倒數 所以 a = 0 這個做法比較累，因為 i 其實跟平移的做法一模一樣，等於是多做了一些事 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.230.79.62 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1460990691.A.4DA.html
推
04/19 03:03, , 1F
了解! 謝謝你~~~
04/19 03:03, 1F
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04/22 15:12, , 2F
又想到一個用maximum modulus thm.的作法了哈。
04/22 15:12, 2F
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04/22 15:16, , 3F
若a!=0, f(-b/a)=0 => f(z)/(az+b) is entire
04/22 15:16, 3F
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04/22 15:18, , 4F
(其實好像是用Liouville's thm.)
04/22 15:18, 4F
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04/22 15:19, , 5F
f(z)/(az+b) is bbd. by |az+b|^-0.5
04/22 15:19, 5F
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04/22 15:20, , 6F
在 z=-b/a 那附近也沒關係，因為 f(z)/(az+b)
04/22 15:20, 6F
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04/22 15:21, , 7F
entire，所以連續，所以那附近也被限制住了。
04/22 15:21, 7F
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04/22 15:22, , 8F
所以可以找到 f(z)/(az+b) 的 global bound
04/22 15:22, 8F
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04/22 15:24, , 9F
因此 f(z) = c(az+b)，代回原式比較係數就OK了。
04/22 15:24, 9F
推
04/22 20:06, , 10F
這個讚! 我本身對z開根號覺得需要取branch覺得抖抖
04/22 20:06, 10F
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04/22 20:06, , 11F
的 但是這個是絕對值後再開根號就沒問題了 喜歡這
04/22 20:06, 11F
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04/22 20:06, , 12F
個!
04/22 20:06, 12F
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04/23 01:30, , 13F
其實文中的作法...[ 1 + (a/b)z ]^0.5只是記號而已
04/23 01:30, 13F
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04/23 01:30, , 14F
實做就是設a_n解方程，所以其實沒什麼須要抖的。
04/23 01:30, 14F
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