※ 引述《cutt1efish (喵喵)》之銘言：
: ※ 引述《justin0602 (justin)》之銘言：
: : 在三角形ABC中
: : 令 x=AB‧AC (AB向量 內積 AC向量)
: : y=BA‧BC (BA向量 內積 BC向量)
: : z=CA‧CB (CA向量 內積 CB向量)
: : 試證明:xy+xz+yz恆正
: AB=c BC=a CA=b
: x=cb cosA
: y=ca cosB
: z=ba cosC
: S=xy+yz+zx=abc(c cosAcosB + b cosAcosC + a cosBcosC )
: c=a cosB + bcos A
: so S = abc c(cosAcosB + cosC)
: = abc^2 (cosAcosB -cos(A+B))
: = abc^2 sinAsinB >0
看來這題用"射影定理"來證
已經算簡單了
應該還少一個"Law of sines"之類的
=[(abc)/(2R)]^2
=(2delta)^2 > 0
接下來用
陳一理所編著的"平向"
當中所提到的"內積公式"來證
原式=xy+yz+zx
=(1/2)[(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)]
=(1/2)^3[(a^2+b^2+c^2)^2-(b^2+c^2-a^2)^2-(c^2+a^2-b^2)^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=(1/8){4[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]-2(a^4+b^4+c^4)}
=(1/4){2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]-(a^4+b^4+c^4)}
=(1/4)(4delta)^2...冪和形式
=(2delta)^2 > 0
亦可證明
其為正...
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