Re: [代數] 交換環

看板Math作者Desperato (Farewell)時間10年前 (2016/02/02 15:16)推噓6(6推 0噓 10→)

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原文恕刪。我要回應wayne2011的那篇證明。原則上這樣寫是錯的，關鍵是LPH66說的零因子(zero divisor) 也就是說，「x(x-1) = 0 => x = 0 or x = 1」是不成立的。 LPH66說的Z6剛好就是一個非常好的例子。 Z6 中有6個元素 { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } 以及加法和乘法表如下： + | 0 1 2 3 4 5 x | 0 1 2 3 4 5 --------------------- --------------------- 0 | 0 1 2 3 4 5 0 | 0 0 0 0 0 0 | | 1 | 1 2 3 4 5 0 1 | 0 1 2 3 4 5 | | 2 | 2 3 4 5 0 1 2 | 0 2 4 0 2 4 | | 3 | 3 4 5 0 1 2 3 | 0 3 0 3 0 3 | | 4 | 4 5 0 1 2 3 4 | 0 4 2 0 4 2 | | 5 | 5 0 1 2 3 4 5 | 0 5 4 3 2 1 a | 0 1 2 3 4 5 a | 0 1 2 3 4 5 --------------------- --------------------- -a | 0 5 4 3 2 1 a^-1| x 1 x x x 5 (0, 2, 3, 4沒有乘法反元素) 最簡單能形成 Z6 的東西是除以6的餘數 (mod 6) 很容易檢驗 Z6 在加法及乘法的運算下是封閉的且滿足加法結合律、加法交換律、加法單位元素、加法反元素、乘法的結合律、左分配律、右分配律，因此 Z6 是一個環。因為 Z6 有乘法單位元素，所以是個有單位元素的環 (p.s. 環的定義中有沒有1，直到現在仍然沒有定論) 因為 Z6 的乘法有交換律，所以是個交換環零因子 a 的定義：存在 b != 0, 使得 ab = 0 或 ba = 0 如果一個交換環沒有非零的零因子，稱為整環(integral domain) 沒有非零零因子，等價的說法是：「ab = 0 => a = 0 or b = 0」整數 Z 就是一個整環，如果 p 是質數的話那 Zp 也是 Z6 不是整環，因為 2 x 3 = 3 x 4 = 0，所以 0, 2, 3, 4 都是零因子造成的問題就是，符合 x(x-1) = 0 的 x 實際上有四個 0, 1, 3, 4 而符合 x(x-1)(x+1) = 0 甚至是全部 0, 1, 2, 3, 4, 5 不然也不會說 Z6 是滿足 x^3 = x 的一個例子了話說一時也想不到其他例子，難道要 Z6 x Z6 嗎(?) 如果要寫證明的話，E大的幾乎是標準證明方式很值得參考。(嗯，就是說，代數的證明都是那種玩法的概念) 補充一下好了，有些環是沒有乘法單位元素 1 的例子是全體偶數 Even = { ..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...} 很容易檢驗 Even 在加法及乘法的運算下是封閉的且滿足加法結合律、加法交換律、加法單位元素、加法反元素、乘法的結合律、左分配律、右分配律，因此 Even 是一個環。(複製貼上) 但是顯然裡面沒有一個元素 e 能充當 ea = ae = a 的角色 -- 嗯嗯ow o -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.129.69.137 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1454397379.A.B4A.html ※ 編輯: Desperato (220.129.69.137), 02/02/2016 15:32:02

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