Re: [代數] 交換環
※ 引述《mack (回家的路)》之銘言：
: 一個環 R, 裡面的元素 a 都滿足 a^2 = a, 則 R 為交換環.
: Pf:考慮 (a + 1)^2 = a^2 + 2a + 1 = a + 1 => 2a = 0 (此環的特徵數為2)
: (a + b)^2 = a^2 + ab + ba + b^2 = a + b => ab + ba = 0
: 因為 2ab = 0 => ab = -ab
: 所以 ab + ba = -ab + ba = 0 => ab = ba 得證
: 我的問題是下面
: 一個環 R, 裡面的元素 a 都滿足 a^3 = a, 則 R 為交換環.(這要怎麼證明)
推
02/01 10:19,
02/01 10:19
推
02/01 10:21,
02/01 10:21
→
02/01 10:50,
02/01 10:50
推
02/01 10:57,
02/01 10:57
取 y = x ，照上面寫的 xy = 0 ， 那麼 0 = x^3 = x
所以變成 R 裡面只有 0 而已
但是至少還可以舉出 Z_3 這個例子吧...
------------------------------------------------------------------------------
1. 2a = (a+a)^3 = 8a^3 = 8a => 6a = 0
2. (a+b)+(a+b)^2 = ((a+b)+(a+b)^2)^3 = 4(a+b) + 4(a+b)^2
所以可以得到 3ab + 3ba = 0 ， 6ab + 3ba = 3ab
=> 3ba = 3ab
3. 2a = (a+b)^3+(a-b)^3
= 2a + 2(ab^2 + bab + b^2a )
右乘 b 可得 2ab + 2bab^2 + 2b^2ab = 0
類似地，左乘 b 可得 2bab^2 + 2b^2ab + 2ba = 0
所以， 2ba = 2ab
4. 綜合 2 及 3，可得 ab = ba
如果上述有錯，還請指教
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.46.225.227
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1454296569.A.A3E.html
推
02/01 14:15, , 1F
02/01 14:15, 1F
推
02/01 19:14, , 2F
02/01 19:14, 2F
推
02/04 01:53, , 3F
02/04 01:53, 3F
討論串 (同標題文章)