Re: [中學] 函數相關
※ 引述《ilovecurl (ilovecurl)》之銘言：
: Suppose that a,b and c are non-zero real numbers.
: Define h(x)=(ax+b)/(bx+c) for x≠-c/b.
: Determine all triples (a,b,c) for which h(h(x))=x
: for every real number x with x≠-c/b and h(x)≠-c/b
: 這題是學生問的問題,不過沒有解答,本身思路是以反函數的考量下去解的
: 但自己算的不算很有把握,所以上來求教
: 是否有大大能夠提供比較有把握的解答可供參考,謝謝!
h(x)=(ax+b)/(bx+c) , bx+c≠0 ---(條件一)
h(h(x))= {a(ax+b)/(bx+c) + b}/{b(ax+b)/(bx+c) + c}
= {aax+ab+bbx+bc}/{abx+bb+bcx+cc}
= {(a^2 + b^2)x + ab+bc}/{(ab+bc)x + (b^2 + c^2)}
其中,(ab+bc)x + (b^2 + c^2)≠0 ---(條件二)
h(h(x))=x
→ (ab+bc)x^2 +(c^2 - a^2)x - (ab+bc) = 0 ---(方程式一)
(1) ab+bc≠0, 方程式一有兩實根 α,β
______________ ______________
α={a-c+√((a-c)^2+4b^2))}/(2b) , β={a-c-√((a-c)^2+4b^2))}/(2b)
h(x)=(ax+b)/(bx+c)=x , bx^2 + (c-a)x - b = 0
α,β 也是上述方程式的根, 即 h(α)=α=h(h(α)), h(β)=β=h(h(β))
再加上條件一,二
α≠-c/b
α≠(b^2 + c^2)/(ab+bc)
dom(h)={α}, h(α)=α -----------------❶
β 同上 --------------❷
(2) ab+bc=0
(i) c^2 - a^2 = 0，方程式一的解是 R
① 若a+c=0, 帶入條件二得到 b^2 + c^2≠0
帶入條件一,若 b=0,c≠0,a=-c,
dom(h)=R, h(x)=-x -------------❸
若b≠0, x≠-c/b, a=-c,
dom(h)=R\{-c/b}, h(x)=(-cx+b)/(bx+c) ------❹
② 若a=c=0, 帶入條件二得到 b≠0，帶入條件一得 x≠0
dom(h)=R\{0}, h(x) = 1/x ---------❺
③ 若a=c≠0, b=0
dom(h)=R, h(x)=x -------------❻
(ⅱ) c^2 - a^2 ≠ 0，方程式一的解是 {0}
a+c≠0 且 a-c≠0 且 b=0
dom(h)={0}, h(0)=0 -------------❼
大致上就以上❼種情況，不知道有沒有漏掉
題目的敘述， dom(h) 應該是 R\{-c/b}
❸❹❺❻都有可能
若再加上b≠0,就只剩下❹
(❺是❹的特例)
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這個一般來說不一定成立
例如考慮 h(x)=(x+1)/(x+2) , 也就是 a=1, b=1 ,c=2 的情況
當 h(x)= -c/b = -2 時, x= -5/3≠-c/b
條件一是讓 h(x):=(ax+b)/(bx+c) well defined
條件一加條件二讓
(h。h)(x):={a(ax+b)/(bx+c) + b}/{b(ax+b)/(bx+c) + c} well defined
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※ 編輯: ERT312 (218.164.169.138), 12/13/2015 19:34:54
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a=1, b=1 ,c=2 的情形，再加上 h(h(x))=x (方程式一) 的條件後
(方程式一)只有兩個解 α,β
也就是說 h。h 的定義域最多只有兩點 {α,β}
當然要限縮成一點也可以同時滿足條件一,二跟方程式一
如果一開始就限定 h 以及 h。h 的定義域是 R\{x|x不滿足條件一,二}
就可以馬上排除 ab+bc≠0 的情形
方程式一要有無限多解
→ b(a+c)=0 & (a+c=0 or a-c=0)
若再加上 b≠0 這個條件，就會推出 a+c=0
(這個條件似乎沒有明言?)
最後把 b≠0 & a+c=0 帶入條件一,二，確保 (h。h)(x) well defined.
bx+c≠0 ---(條件一)
(ab+bc)x + (b^2 + c^2)≠0 ---(條件二)
由條件一得到 x≠ -c/b
條件二自動滿足
所以 b≠0 & a+c=0, dom(h) = dom(h。h) = R\{-c/b}
這是❹的推論過程
※ 編輯: ERT312 (218.164.169.138), 12/14/2015 08:22:34
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