Re: [微積] tan的連續 證明

看板Math作者 (怕什麼？我又不是猩猩王)時間8年前 (2015/10/20 14:34), 8年前編輯推噓4(4推 0噓 15→)
留言19則, 7人參與, 最新討論串2/3 (看更多)
※ 引述《louisshih (老牧師4ni)》之銘言： : 小弟最近寫到一題證明 : 要我們求tan是不是一個連續函數 : 包括證明 : 我們知道tan圖畫出來就是不連續 : 我想說用y=tan90度時 y不存在 : 之後對tan90度作微分 : 左極限跟右極限不一致 : 所以tan不是一個連續函數 : 請問這樣可以嗎？ : http://i.imgur.com/hWK1uNH.jpg
不可以！ 光是第一句 設 tanθ 為一個連續函數，則 tanθ 可微分 (而且根本沒用到這吧...) 就有問題了，而且後面第二、三句也寫得不知所云... tan 連不連續要看你書本的定義怎麼寫的 我是認為連續啦 ( tan : D -> R，D 是 tan 的定義域，tanθ=sinθ/cosθ 又 sin 跟 cos 皆為連續函數 ) 但是就我手上某本微積分的書有提到 f 在 c 點連續要滿足 1. f(c) is defined. 2. lim f(x) exists. 3. lim f(x) = f(c) 就 tan 而言，滿足 cos(c) = 0 的點，1,2,3 都會有問題 照這樣看起來的話 tan 就變成不連續 (看起來這定義滿糟的 XD) 所以最後還是要看你課本是怎麼寫的... : 我寫到最後感覺不太順 : 請大家指點一下 : 先謝謝各位 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.46.230.109 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1445322861.A.A09.html
推
10/20 18:11, , 1F
個人覺得就算這麼定義單點連續, 函數連續的定義上
10/20 18:11, 1F
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10/20 18:11, , 2F
就不包含不在定義域裡的點了, 那麼定義域外的點
10/20 18:11, 2F
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10/20 18:12, , 3F
(by(1)不連續)對函數是否連續沒有影響才對
10/20 18:12, 3F
LPH66 大，我也是這麼認為的 但該書( Calculus 7th edition by Larson Hostetler and Edwards) 認為這算不連續 裡面的圖 http://imgur.com/2TZh7UH
※ 編輯: Eliphalet (114.46.230.109), 10/20/2015 18:47:27
推
10/20 19:48, , 4F
你應該要去找書裡對「連續函數」的定義才對
10/20 19:48, 4F
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10/20 19:49, , 5F
這張圖應該是少畫了一個 c 點的值 (不在線上在別處)
10/20 19:49, 5F
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10/20 19:50, , 6F
因為它是在講定義域內不連續點的性質
10/20 19:50, 6F
不是漏畫(雖然我知道很怪) 它書裡單點連續的定義，是上面打的那三點。之後接了這段文字 Consider an open interval I that contains a real number c. If a function f is defined on I(except possibly at c), and f is not continuous at c, then f is said to have a discontinuity at c. 所以該書沒定義的點也是算在不連續 ----------------------------------------------------------------------------- OK 我知道問題的來源了。 提到連續函數的部分 A function is continuous on an open interval if it is continuous at each point in the interval. 這裡並沒提到這個 interval 包含在定義域內 (至少沒明指) 我承認我是看到上面的那個圖，所以把 to have a discontinuity at c => be a discontinuous function 至於上下文，我倒是沒看到關於 discontinuous function 的敘述 還有，我有說我的意見跟您是一致的，就忘了這本書吧 XD ※ 編輯: Eliphalet (114.46.230.109), 10/20/2015 20:00:50 ※ 編輯: Eliphalet (114.46.230.109), 10/20/2015 20:16:19
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10/20 20:46, , 7F
所以 f(x) = x，但只定義在有理數上面，這樣的函數
10/20 20:46, 7F
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10/20 20:46, , 8F
也叫做連續可微嗎？
10/20 20:46, 8F
推
10/20 21:24, , 9F
我想到了 因為sin cos可是一個連續函數，tan=sin/co
10/20 21:24, 9F
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10/20 21:25, , 10F
s 所以tan也是一個連續函數
10/20 21:25, 10F
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10/20 22:34, , 11F
@wohtp: 這f當然是C^1(Q)
10/20 22:34, 11F
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10/21 08:47, , 12F
本性不連續好像
10/21 08:47, 12F
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10/21 14:37, , 13F
tan(x) 是不是一個連續函數? 我猜絕大多數初微教本
10/21 14:37, 13F
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10/21 14:38, , 14F
都會說它在許多點不連續, 因此不是一個處處連續的函
10/21 14:38, 14F
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10/21 14:39, , 15F
數. 不過, 相信所有高微、數學分析的教本的定義都會
10/21 14:39, 15F
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10/21 14:40, , 16F
導致 "tan(x) (在其定義域) 是連續函數" 的結論.
10/21 14:40, 16F
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10/21 14:42, , 17F
其實這種存在於初、高微教本上定義的差異有好幾項,
10/21 14:42, 17F
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10/21 14:44, , 18F
例如極限的存在、連續及數、遞增與遞減函數等.
10/21 14:44, 18F
推
10/21 16:50, , 19F
推樓上
10/21 16:50, 19F
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