Re: [中學] 請教一題三角函數證明
※ 引述《wayne2011 (消失的那19個字母)》之銘言：
: ※ 引述《kusoayan (瑋哥)》之銘言：
: : 請教一題三角函數證明
: : a + b + c = π(三角形的三個內角)
: : 試證
: : sin a + sin b + sin c <= 3√3 / 2
: : 我自己的想法是用柯西 不過到一半就卡住了
: : 另外他有第二小題
: : 試證 當等號成立時 若且唯若 a = b = c = π/3
: : PS 他有提示說 考慮sin函數的圖形 可是不知道怎麼用這個提示
: : 另外 題目中的若且唯若 是什麼意思@@? 沒碰過這種證明耶~"~
: 這題大概在八月中
: 不但是用到柯西
: 還須證出
: a^2+b^2+c^2 <= 9R^2
: (張景中"面積關係幫您解題"當中的習題,亦提供正弦定理與和差化積證法)
: 希望此題作法
: 能讓原po滿意...
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其餘推文恕刪
你好像有什麼東西誤解了，我寫一遍用 Jensen's inequality 的作法
從你給的連結中的 Corollary 4.1 ( pp 48) 寫到
Let f:[a,b]→R be a continuous convex function. For all x_1,...,x_n \in [a,b]
we have
f(x_1)+...+f(x_n) x_1+...+x_n
------------------- ≧ f(-------------)
n n
為什麼等號方向有問題呢？我猜你是直接把 f(.) 代入 sin(.)，這樣當然會出問題
因為 -sin(.) 才是定義在 [0,π] 的 convex 函數
以此題來說，則是
sin a + sin b + sin c a + b + c
(-1) ----------------------- ≧ (-1) sin(-------------)
3 3
= (-1) √3/2
因此 sin a + sin b + sin c 之最大值為 3√3/2
因為 -sin(.) 在 [0,π] 是 strictly convex (圖形都在內部任一點之 supporting
line 之上，且只交於一點)
，所以等號會成立於
a = b = c = π/3
(這部分你給的 Corollary 4.1 倒是沒提到)
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應要求，修改推文
※ 編輯: Eliphalet (114.46.192.119), 08/29/2015 08:36:27
討論串 (同標題文章)