[機統] 期望值 變異數 搞不太懂

看板Math作者 (錯誤示範)時間10年前 (2015/06/28 18:38), 編輯推噓3(3推 0噓 36→)
留言39則, 5人參與, 最新討論串1/4 (看更多)
麻煩期望值大大&變異數高手了 先來個題目 五黑球三紅球中任選出4球，設x表洪球的個數則E(x)=? ans:(3/8)*4=3/2 一次取四個球的期望值雖然機率分部不滿足二項分布 但期望值的公式E(x)=np與Var(x)=npq應該也可以成立 也應該與取四次取後不放回的期望值跟變異數相同。 問1:為什麼要強調取後放回的情形才能使用公式 此題取後不放回與取後放回的期望值是相同的 問2:為什麼要強調取後放回的情形(滿足二項分布)才可以使用上述公式? ----------------------------------------- 1.期望值與變異數隨著測驗次數或者是隨機變數改變的討論 除了E(x)=a,Var(x)=b則E(2x)=2a,Var(2x)=2b 應該是適用於任何機率問題，就取球不放回或取球放回都適用 2.若隨著測驗次數改變的期望值與變異數改變 則只可以用於每一次測驗的機率都一樣的情形 也就是說取球取後放回的問題不可以使用 請問 問1:上面兩個我自己推出的結論是否正確? 問2:第二點每一次測驗的機率都一樣的情形?需要是二一律的情況嗎?(ex有三種不同的錢 數可否使用?) 問3:若第二點滿足二一律，且某一個狀態其隨機變數與其取出的狀態次數相同 則取出n次便可以使用E(x)=np與Var(x)=npq? 問4:問3中如果我改變隨機變數變成k倍，E(kx)=knp與Var(kx)=knpq這樣對嗎? 問5:若要使用白努力公式，必須滿足二一律機率分布空間不變以及某一個狀態的隨機變數 必須是零，如同失敗機率的隨機變數是為零一樣，而另外一個隨機變數則可帶入E(x)=np 與Var(x)=npq 出來後再對於我們對於隨機變數的改變進行修正E(kx)=knp與Var(kx)=knpq，這樣觀念是 否正確? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 218.164.184.25 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1435487917.A.FCD.html
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06/28 19:02, , 1F
你知道超幾何分配嗎？http://goo.gl/vzUquQ
06/28 19:02, 1F
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06/28 19:04, , 2F
取球後放回：二項分配；取後不放回：超幾何分配
06/28 19:04, 2F
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06/28 20:21, , 3F
我拜讀一下..
06/28 20:21, 3F
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06/28 20:22, , 4F
看完了點無感OTZ
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06/28 21:06, , 5F
答：問1問2，因為公式是二項分布的前提證出來的
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06/28 23:19, , 6F
筆記ing
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推
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放回 不放回 期望值會一樣 你就想成在抽獎
06/29 01:14, 7F
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06/29 01:15, , 8F
不放回 變異數會比較小 也很直覺
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06/29 01:15, , 9F
因為越後面抽到的 情況會越確定
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你也可純數理證明 機率的書都有
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放回=二項分配 不放回=超幾何分配
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06/29 01:17, , 12F
且你的例子球不錯 你大可把兩種分配列出來算期望值
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且你的例子球不多 你大可把兩種分配列出來算期望值
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06/29 01:17, , 14F
跟變異數 會比較有感覺
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06/29 01:17, , 15F
不要一開始就急著代公式
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推
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像這樣做
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Var(2X)=2^2*Var(X)
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請回去看變異數的定義 他有平方
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X1+X2+...+Xn 跟 nX1 是不同的 你應該是這搞混
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06/29 01:33, , 20F
前者變異數為nVar(X1) 後者變異數為n^2*Var(X1)
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推
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二項分配是 X1+...+Xn
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07/02 04:06, , 22F
設依序記錄抽出的每個球的顏色, Xi = 1 代表第 i 次
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抽出的是紅球, Xi = 0 代表第 i 次抽出的不是紅球.
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那麼, 在抽出後放回混勻再抽的情況下, X1+X2+X3+X4,
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也就是問題中的 X, 服從二項分布; 若抽出後不放回,
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繼續抽下一個, 那麼 X 的分布是超幾何.
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07/02 04:09, , 27F
不管哪種抽法, 就個別 Xi 而言, 都是相同的分布, 在
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07/02 04:10, , 28F
本例是 P[Xi=1] = p = 3/8 = 1-P[Xi=0].
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07/02 04:11, , 29F
因此, E[Xi] = p, Var[Xi] = p(1-p).
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採抽出後放回方式, X1,X2,X3,X4 相互獨立, 因此
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Var[X] = Var[X1+X2+X3+X4] = Var(X1)+...+Var(X4)
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但若採抽出後不放回, 已知 Xi=1 的話 X2, X3, X4 結
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果是 1 的機率就不再是 p 而是小一些 (變成 2/7);
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另一方面 X1=0 的話 X2, X3, X4 等於 1 的機率則比
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p 大, 變成 3/7. 也就是說 X1,...,X4 兩兩兩之間有
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負相關, 所以 Var(X) < Var(X1)+...+Var(X4). 實際
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上 Var(X) = np(1-p)(N-n)/(N-1)
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= 4(3/8)(5/8)(8-4)/(8-1)
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這就是超幾何分布的變異數.
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文章代碼(AID): #1LZywj_D (Math)
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