Re: [微積] 數列證明題組 (an)→sin(an)
※ 引述《sunlight1016 (小晃)》之銘言：
: 再把題目整理一下
: 已知反例 (感謝 motivic 大提供
: 1/n^(1/3) if n = 1,2 mod 3
: an =｛
: -2/n^(1/3) if n = 0 mod 3
: -2/n^(1/3) 若n為3的倍數
: =｛
: 1/n^(1/3) 若n為非3的倍數
: = 1/(3k-1)^(1/3) + 1/(3k-2)^(1/3) - 2/(3k)^(1/3)
: 這三項應該可以視為 p-series
: 其中P>1 所以是發散
: 三個發散的數列加起來不是也是發散嗎?
( 你複製我寫的東西要引一下作者吧 ...)
不會，可以這樣處理
當 0 < x < s < 1， 由均值定理可得到
1 - (1-x)^(1/3) = (x/3) ξ^(-2/3) ， ξ 介於 1-x 到 1
< (x/3) (1-x)^(-2/3)
故取 s = 1 - 1/(2√2)≒0.65， 此時會有
1 - (1-x)^(1/3) < (2/3) x (*)
對任意 k ≧ 1 ， 恆有
0 ≦ a_{3k-1} + a_{3k-2} + a_{3k}
1 1 1 1
= -------------- - -------------- + ---------------- - ------------
(3k-1)^(1/3) (3k)^(1/3) (3k-2)^(1/3) (3k)^(1/3)
1 - [1-1/(3k)]^(1/3) 1 - [1-2/(3k)]^(1/3)
= ------------------------ + -----------------------
(3k-1)^(1/3) (3k-2)^(1/3)
2 4
≦ ---------------- + ----------------- := b_k
9k (3k-1)^(1/3) 9k(3k-2)^(1/3)
任給 ε > 0 ， 取 N_0 使得 Σ b_k < ε/3 ， 並且使得當 j > 3N_0
k>N_0
時有 2/j^(1/3) < ε/3
m
取 N = 3N_0，則當 m≧k > N 時 ， | Σ a_n| < ε
j=k
故 Σ a_n 其 partial sum 為柯西數列
所以 Σ a_n 收斂
: 因為 a_n - sin(a_n) = (a_n)^3/6 + O(a_n^5)
: 請問這個等式是怎麼來的?
泰勒定理來的
: 還有其中 O(a_n^5) 的 O 是甚麼意思?
Big O notation
http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation
: 所以 m 大你是從 Σa_n 收斂但 Σa_n^3 發散下手的嗎？
: 這個反例漂亮
: sin(1/(3k-1)^(1/3)) + sin(1/(3k-2)^(1/3)) - sin(2/(3k)^(1/3))
: = sin(1/(3k-1)^(1/3)) - cos(1/(3k)^(1/3))sin(1/(3k)^(1/3))
: + sin(1/(3k-2)^(1/3)) - cos(1/(3k)^(1/3))sin(1/(3k)^(1/3))
: > (3k-1)^(-1/3) - (3k)^(-1/3) + (1/18) (1/k)
: + (3k-2)^(-1/3) - (3k)^(-1/3) + (1/18) (1/k)
: 所以 sin(a_n) 趨近於 +∞
: 為什麼證明出 sigma sin(an) > sigma an 就能得知 sin(an) 發散呢?
你搞錯了，並不是這樣
從我上面寫的結果稍微整理之後可以得到
sin(1/(3k-1)^(1/3)) + sin(1/(3k-2)^(1/3)) - sin(2/(3k)^(1/3))
> (1/9) (1/k)
又已知 Σ 1/k = +∞，這說明了 Σ sin(a_k) = +∞
: 不好意思問題很多
: 希望大家能幫我解惑
: 感激不盡QQ
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