Re: [微積] 數列證明題組 (an)→sin(an)
: 是兩題是非證明題
: 認為是正確了話要證明
: 錯誤要舉反例
: 大意大概是這樣
: 1.若 an > 0 for all n 屬於 N 且 sigma an 收斂, 則 sigma sin(an) 也收斂
: 2.若 sigma an 收斂, 則 sigma sin(an) 也收斂
: 第一題比較直觀一點
: 若 sigma an 收斂 則 lim an = 0
: n→∞
: 又
: sin(an) sin x
: lim ──── = lim ─── = 1 > 0
: n→∞ an x→∞ x
: 由 Limit Comparison Test 可知
: an 與 sin an 有相同的收斂性
: 若 an 收斂 則 sin(an) 收斂
: 若 an 發散 則 sin(an) 發散
: 但第二題我就被混淆了
: 沒有 an > 0 for all n 屬於 N 的預設條件了話
: 就不能用 Limit Comparison Test 去證明了
: 直覺上應該是錯的
: 但是我找不到反例
: 有人能幫我解惑嗎QQ
推 motivic : 反例: an=(-1)^n/n^0.5 06/02 08:43
這反例好像怪怪的？
sqrt(1+1/2n) - 1
sin(1/√(2n)) - sin(1/√(2n+1)) = cosξ_n * --------------------
sqrt(2n+1)
1
< -----------------
4n * sqrt(2n+1)
1
令 b_n = ----------------- ， Σ a_n 收斂
4n * sqrt(2n+1)
∞ ∞
故 0 < Σ sin(a_n) < Σ b_n 再加上 lim sin(a_n) = 0
n=2k n=2k
這樣的話 Σ sin(a_n) 會收斂才對？
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 122.118.98.37
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我剛剛看錯了， sorry
※ 編輯: Eliphalet (122.118.98.37), 06/02/2015 11:08:29
→ motivic : 1/1+1/2^(1/3)-2/4^(1/3)+1/5^(1/3)+1/6^(1/3)-1/7^ 06/02 10:51
^^
m 大，你是指
1/1 + 1/2^(1/3) - 2/3^(1/3) + 1/4^(1/3) + 1/5^(1/3) - 2/6^(1/3)+ ... 嗎？
(因為突然跳過 3 )
因為 a_n - sin(a_n) = (a_n)^3/6 + O(a_n^5)
所以 m 大你是從 Σa_n 收斂但 Σa_n^3 發散下手的嗎？
這個反例漂亮
sin(1/(3k-1)^(1/3)) + sin(1/(3k-2)^(1/3)) - sin(2/(3k)^(1/3))
= sin(1/(3k-1)^(1/3)) - cos(1/(3k)^(1/3))sin(1/(3k)^(1/3))
+ sin(1/(3k-2)^(1/3)) - cos(1/(3k)^(1/3))sin(1/(3k)^(1/3))
> (3k-1)^(-1/3) - (3k)^(-1/3) + (1/18) (1/k)
+ (3k-2)^(-1/3) - (3k)^(-1/3) + (1/18) (1/k)
所以 sin(a_n) 趨近於 +∞
※ 編輯: Eliphalet (122.118.98.37), 06/02/2015 11:32:02
※ 編輯: Eliphalet (122.118.98.37), 06/02/2015 13:26:32
→
06/02 15:10, , 1F
06/02 15:10, 1F
跟我想的一樣，關鍵在於 Σa_n 收斂但 Σa_n^3 發散
我早上也有想一個例子是 Σa_n 收斂但 Σa_n^3 發散，但看起來很髒
沒你舉的例子的乾淨 ^^
※ 編輯: Eliphalet (122.118.98.37), 06/02/2015 15:14:12
推
06/02 15:22, , 2F
06/02 15:22, 2F
→
06/02 15:23, , 3F
06/02 15:23, 3F
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完整討論串 (本文為第 2 之 6 篇)：