[微積] 數列證明題組 (an)→sin(an)
我不會用PTT打複雜的數學符號所以縮成圖
http://i.imgur.com/DtqM7Ml.jpg
是兩題是非證明題
認為是正確了話要證明
錯誤要舉反例
大意大概是這樣
1.若 an > 0 for all n 屬於 N 且 sigma an 收斂, 則 sigma sin(an) 也收斂
2.若 sigma an 收斂, 則 sigma sin(an) 也收斂
第一題比較直觀一點
若 sigma an 收斂 則 lim an = 0
n→∞
又
sin(an) sin x
lim ──── = lim ─── = 1 > 0
n→∞ an x→∞ x
由 Limit Comparison Test 可知
an 與 sin an 有相同的收斂性
若 an 收斂 則 sin(an) 收斂
若 an 發散 則 sin(an) 發散
但第二題我就被混淆了
沒有 an > 0 for all n 屬於 N 的預設條件了話
就不能用 Limit Comparison Test 去證明了
直覺上應該是錯的
但是我找不到反例
有人能幫我解惑嗎QQ
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推
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