Re: [中學] 數甲-有理數無理數判斷
※ 引述《louisshih (老牧師4ni)》之銘言：
: a b皆為無理數
: 請問a^b是有理數還是無理數？
: 請問為甚麼
: 請大家幫小弟解答
: 謝謝
: 推 softseaweed : 你的題目正確嗎? a^b可以是有理數也可以是無理數 05/26 12:01
: → softseaweed : a = b = 2^(1/2), a^b 為無理數 05/26 12:08
: → softseaweed : a = ( 2^(1/2) )^( 2^(1/2) ),b = 2^(1/2), a^b有理 05/26 12:09
: → louisshih : 我有說a b皆為無理數 05/26 12:20
: → louisshih : 我看錯了 研究一下 05/26 12:21
: → louisshih : 題目就是這樣 但我想問a = b = 2^(1/2), a^b 為無 05/26 12:22
: → louisshih : 理數這怎麼算 05/26 12:22
: 推 LPH66 : 不用確定 x=(√2)^(√2) 是不是有理數 05/26 22:09
: → LPH66 : 唔, 回文好了 05/26 22:11
問題的關鍵點看似在於 x 這值到底是不是有理數
不過兩種狀況都有例子能舉:
(1) 若 x 是有理數, 則 x 本身為 a^b 有理數的例子
x*√2 = (√2)^(1+√2) 為 a^b 無理數的例子
(2) 若 x 是無理數, 則 x 本身為 a^b 無理數的例子
x^(√2) = (√2)^(√2*√2) = 2 為 a^b 有理數的例子
因此無理數的無理數次方既可能是有理數也可能是無理數
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事實上, x = (√2)^(√2) ≒ 1.63252 這個數是個無理數 (還是超越數)
但這不是中學程度可以證明的東西
(有個定理叫格爾豐德-施奈德定理, 是希爾伯特第七問題的回答
這個數是超越數是這定理的結果)
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