[微積] 多變函數的可微性(differentiability)

看板Math作者Philethan (PE)時間9年前 (2015/04/14 14:49)推噓4(4推 0噓 30→)

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剛讀了以下資料，仍不太懂可微性的意思。 (1)James Stewart Calculus 7th edition 的可微性定理與Appendix F的證明： If the partial derivatives fx and fy exist near (a,b) and are continuous at (a,b), then f is differentiable at (a,b). (2)朱樺教授的微積分講義：若在(a,b)附近 fx 及 fy 存在，且均在(a,b)連續，則 f 在(a,b)可微。 (3)三份Google到的 PDF 原文講義： http://faculty.atu.edu/mfinan/2934/cal148.pdf http://math.msu.edu/~gnagy/teaching/11-fall/mth234/L15-234.pdf https://math.feld.cvut.cz/vivi/MA3class2.pdf 以朱樺教授的可微性定理中文版來看，有沒有可能存在一種函數，使得儘管在(a,b)附近 fx 及 fy存在，且均在(a,b)連續，但卻在對另一種座標系而言（例如旋轉45度的x'，y'），在同一點(x,y)=(a,b)附近，fx' 及 fy' 至少有一不存在或不連續？ ----------------- 我們在說明可微性(differentiability)時，其原意是能在該點上找到良好近似的切平面。然而以可微性的充分條件—「在(a,b)附近 fx 及 fy 存在，且均在(a,b) 連續」而言，它隱約給我一種感覺，好像是說，沿著 x=a 往 (a,b) 靠近的路上皆可偏微，行經路徑都很平滑（smooth），並且沿著 y=b 往 (a,b) 靠近的路上也是如此，然後就此保證前往 (a,b) 的「其他條路」也都十分平滑，亦即 f 在 (a,b) 可微。所以我的問題大致有三種表達方式： 1.以朱樺教授的可微性定理中文版來看，有沒有可能存在一種函數，使得儘管在(a,b) 附近 fx 及 fy存在，且均在(a,b)連續，但卻在對另一種座標系而言（例如旋轉45度的x'，y'），在同一點(x,y)=(a,b)附近，fx' 及 fy' 至少有一不存在或不連續？ 2.有辦法證明以下命題嗎？設(x',y')為(x,y)座標系旋轉某一角度後的座標系。在(a,b)附近 fx 及 fy 存在，且均在(a,b)連續，若且唯若，在(x,y)=(a,b)附近 fx' 及 fy' 存在，且均在該點連續。 3.如果我以下解讀無誤的話，「在(a,b)附近 fx 及 fy存在，且均在(a,b)連續」：沿著 x=a 往 (a,b) 靠近的路上皆可偏微，行經路徑都很平滑（smooth），並且沿著 y=b 往 (a,b) 靠近的路上也是如此。那麼，「在(a,b)附近 fx 及 fy存在，且均在(a,b)連續」是否就能保證，前往(a,b)的路徑也都是平滑，亦即皆可偏微？抱歉..我可能表達得不太清楚，很感謝你看完我的問題！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 117.19.19.133 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1428994141.A.F17.html ※ 編輯: Philethan (117.19.19.133), 04/14/2015 14:54:33

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jacky7987

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