Re: [微積] 多變函數的可微性(differentiability)
: (1)James Stewart Calculus 7th edition 的可微性定理與Appendix F的證明：
: If the partial derivatives fx and fy exist near (a,b) and are continuous
: at (a,b), then f is differentiable at (a,b).
多變數的可微分判定，不能簡單的等同於多個方向的可偏微分判定
http://calculus.subwiki.org/wiki/Existence_of_directional_derivatives_in_every_direction_not_implies_differentiable
因此，除了用定義硬證，我們需要其他條件來幫助我們判定多變數函數可微
其中一個方法就是，進而要求多個方向偏微分不但存在，還要連續。
(事實上，只要 n-1 個方向連續即可，可以參考 Apostal 的高微)
: 以朱樺教授的可微性定理中文版來看，有沒有可能存在一種函數，使得儘管
: 在(a,b)附近 fx 及 fy存在，且均在(a,b)連續，但卻在對另一種座標系而
: 言（例如旋轉45度的x'，y'），在同一點(x,y)=(a,b)附近，fx' 及 fy' 至少
: 有一不存在或不連續？
簡短的說，不可能有這樣的函數。考慮下面幾個命題
(i) fx, fy 都存在而且都連續
(ii) f 可微
(iii) 其他方向的偏微分也會存在且連續
標準的高微書上會有證明 (i) => (ii) => (iii)
(i) => (ii) 的證明大約是這樣：
我們想要確定當s趨近於0的時候，對任意a,b 都有 f(as,bs)-f(0,0) = a*fx + b*fy
f(as,bs)-f(0,0) = [f(as,bs) - f(as, 0)] + [f(as,0) - f(0,0)]
因為fx, fy 各自存在，我們可以使用一維均值定理
= bs* fy(as, B) + as* fx(A, 0)
其中 A, B 各自屬於 [0,as] 和 [0,bs] 的區間。
儘管如此，我們還是要利用 fx, fy 連續的條件，進而知道 fx, fy 是 bounded 的
如此才能確定右手邊當 s->0 時會趨近於 0
也就是說，光靠 fx, fy 存在還不夠。
: → wohtp : (1)和(2)不是一模一樣嗎？ 04/15 03:04
: → wohtp : 直觀上，多變數函數的可微性要求的是 04/15 03:06
: → wohtp : a) 每個方向導數都存在 04/15 03:06
: → wohtp : b) 任意方向導數都可以寫成 f_x 和 f_y 的線性組合 04/15 03:08
: → wohtp : 然後條件(b)等價於 f_x, f_y 連續 04/15 03:09
不好意思，我覺得這論述有問題? 這其實滿 tricky 的@@
(b) => (f_x, f_y 連續) 有反例。
假設 h(x,y) = f(x) + g(y)
f(x) = (x^2)* sin(1/x)
g(y) = (y^2)* sin(1/y)
則 h 是可微的，也滿足你說的(b) 條件，但是 hx, hy 並不連續。
如果我搞錯了請糾正我，謝謝 orz
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