Re: [其他] 第四次數學危機？

看板Math作者Babbage (驕傲體現於健忘)時間10年前 (2014/05/22 03:30)推噓6(6推 0噓 9→)

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※ 引述《dharma (達)》之銘言： : 網路上都沒看到第四次數學危機這種東西 : 是不是因為前三次 : 已經把目前所有數學領域會用到的 : 完整建構出大家有共識、沒有絲毫破綻漏洞的基礎架構 : 所以後來就沒再有新的數學危機了 : thank : 第一次數學危機 : 在無理數還沒被發現之前，在勾股定理中出現腰長為1的等腰直角三角形的斜邊長度 : 竟是無法寫成有理數的數。 : 第二次數學危機 : 微積分引入無窮小量而產生的極值問題（飛矢不動的悖論）。 : 第三次數學危機 : 羅素悖論點出集合論的缺失。在類的理論中通過內涵公理得到解決。第一次數學危機來自於無理數的「發現」。當時數字的存在（的本體論意義）是指作為幾何量而存在，也就是說只要可以透過尺規作圖做出長度為根號二的線段，那麼根號二就存在。那時的危機是因為人類可以做出根號二的線段（其實最早是根號五），卻沒有描述它的方式，這就像第一次看到鬼一樣。這次問題不大，只要發明鬼這個名詞來稱呼對方就可以了。我個人認為這事件主要影響是讓人類了解到數學並不純然是人類任意的發明，而是與外在世界有關的體系，甚至是解開世界之謎的鑰匙。因為這件事發生得太早，我們並不非常清楚危機發生之前的狀況，但有可能在危機發生之前，數學只是作為一種神秘的符號體系而存在（於畢氏學派之中）。所以這次危機除了表面上顯示出數學體系的不足，也改變了數學在人類文明中的地位。在第二次危機之前可以加上第1.5次危機，也就是虛數。有趣的是這次危機是因為有人寫下鬼，卻沒人見過這種鬼。當時由於虛數可以幫助方程求解理論的建構，所以被一些數學家採用。但直到高斯在複數平面上把虛數乘法解釋為一種旋轉，虛數的本體論地位才初次獲得建立，這仍是一種幾何式的實現。隨著數學（特別是抽象代數）的發展，如今數學對象的本體論意義已經不再要求必須建立在幾何上了。（那什麼是數學式的存在呢？）如今我們在高中學到複數平面時並不知道它的歷史意義，只覺得就把 y軸改成虛軸而已，沒什麼大不了的。第二次危機是無窮小危機，這次是看到鬼了，而且還可以和他互動、透過它完成一些任務，但是卻不知道怎麼描述整個過程。牛頓用了很長的一段話來定義無窮小，萊布尼茲的定義又太抽象，直到達朗貝的論文才出現比較清楚的方向，之後柯西採取的方法是「我不知道怎麼定義鬼，但是我知道"如何"請鬼幫忙做事」。事實上，他利用epsilon-delta來定義「極限操作」，把牛頓的「a愈來愈接近b」寫成靜態的「給定任意小的距離d，都有一個時刻使得a與b的距離比d 更小」，這麼一來就把動態的過程凍結在一個個固定的時刻來觀察了。整個過程要完成的話，最後還是要讓d愈來愈小，但是這裡的d是我們給定的、可以控制的。所以柯西就成功地把一個動態的、不斷逼近過程分解成用d來控制的一連串靜態畫面。我忘記Weierstrass做什麼了，總之這個epsilon-delta論證是柯西和Weierstrass一起完成的。（好像是柯西寫得比較不清楚，而且他自己其實都沒照做，只是說這樣做就是嚴謹的了。）從這裡可以發現數學漸漸從研究數與形的性質演變成連理論本身都要研究，產生了本體論上的自我指涉，研究數學的數學還是數學，就像研究哲學的哲學還是哲學，但是研究科學的科學就不是科學了，是科學哲學。建立極限的理論非常重要，不只是解決微積分的基礎問題，更解決了芝諾第一悖論（阿基里斯追烏龜）這個千年難題。但是之後的連分數、無窮級數、...等等一連串的妖魔鬼怪卻不是短時間內可以收服的。當時（十八世紀中葉之後一百年）應該是數學界最美好的年代吧，就像大航海時代的地理大發現一樣，到處充滿驚奇和機會。工業革命之後，人才都不好好念數學了，唉。僅存的清心寡慾好數學家也都饑寒交迫。（我沒有仔細統計，只是腦中閃過幾個例子而已。）總之，嚴格說起來第二次危機其實並沒有完全結束，除了當時的傅立葉理論，還有之後遇到的Dirac函數或像至今仍無法嚴格建立操作理論的費曼積分都提醒我們這類危機其實還存在，而且不斷繼續發生。第三次危機出現在十九世紀末，即眾所週知的羅素悖論以及集合論裡的其他悖論。這些悖論可以分兩類，一類是因為語言造成的，就像前兩次危機一樣，或者找個好的定義就可以解決（無理數）、或者換個方式分析就可以解決（取極限）。但另一類卻是本質上新的危機，也就是自我指涉的問題。當時這可是熱門的大問題，但後來世界大戰把數學家帶往更實用的數學領域，加上這問題其實可以規避（區分class 與set），所以數學家就不管它了。這有點像是不斷追問人死後變成鬼會怎樣，後來大家必然是更專注在死前的生活。所謂把數學的基礎建立在集合論上，也就類似說人要從面對死亡來學習過生活一樣，有點宗教意味了。差不多也是這時候其實出現了另一個危機，但它不被稱為第四次危機，因為這次是「數學家」的危機，而不是「數學」的危機，那就是哥德爾不完備定理。不過如上面說的，戰爭改變了一切，這些東西會漸漸沒落並不完全是它本身的困難無法突破，很大程度上也是社會因素造成的。回到最原先的問題，會不會有第四次危機？我們回到「鬼」這個比喻來看。除了有人看到鬼、無法形容鬼但可控制鬼、了解到鬼的世界充滿矛盾之外，會不會有新的鬼故事呢？我想應該是會有的吧。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 161.64.208.44 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1400700630.A.EB9.html

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Honor1984

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macjohn03

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andrew43

05/22 06:21, , 3^F

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